Chuyên đê Các dạng toán về dãy số và phương pháp giải Lớp 5

Nội dung tài liệu: Chuyên đê Các dạng toán về dãy số và phương pháp giải Lớp 5

1. CÁC DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Các kiến thức cần nhớ: Trong dãy số tự nhiên liên tiếp cứ một số chẵn lại đến một số lẻ rồi lại đến một số chẵn... Vì vậy, nếu: - Dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc là số chẵn thì số lượng các số lẻ bằng số lượng các số chẵn. - Dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số lẻ thì số lượng các số chẵn bằng số lượng các số lẻ. - Nếu dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc cũng là số lẻ thì số lượng các số lẻ nhiều hơn các số chẵn là 1 số. - Nếu dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số chẵn thì số lượng các số chẵn nhiều hơn các số lẻ là 1 số. a. Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 1 thì số lượng các số trong dãy số chính bằng giá trị của số cuối cùng của số ấy. 1, 2, 3, 4, ......., 999 b. 1, 2, 3,..., 9000 c. Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số khác số 1 thì số lượng các số trong dãy số bằng hiệu giữa số cuối cùng của dãy số với số liền trước số đầu tiên. d. 5, 6, 7, 8,...... 995 995 – 4 = 991 2. Các loại dãy số: + Dãy số cách đều: - Dãy số tự nhiên. - Dãy số chẵn, lẻ. - Dãy số chia hết hoặc không chia hết cho một số tự nhiên nào đó. + Dãy số không cách đều. - Dãy Fibonacci hay tribonacci. - Dãy có tổng (hiệu) giữa hai số liên tiếp là một dãy số. + Dãy số thập phân, phân số: 3. Cách giải các dạng toán về dãy số: Dạng 1: Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số Trước hết ta cần xác định lại quy luật của dãy số: + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó cộng (hoặc trừ) với một số tự nhiên a. + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó nhân (hoặc chia) với một số tự nhiên q khác 0. + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng 2 số hạng đứng liền trước nó. + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số tự nhiên d rồi cộng với số thứ tự của số hạng ấy. + Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự của nó. + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi đều bằng a lần số liền trước nó. + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi, mỗi số liền sau bằng a lần số liền trước nó cộng (trừ ) n (n khác 0). Bài 1: Điền thêm 3 số hạng vào dãy số sau: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... Bài 2: Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27, Bài 3: Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau biết rằng mỗi dãy số có 10 số hạng. a)..., ..., 32, 64, 128, 256, 512, 1024
2. b)..., ..., 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110 Bài 4: Tìm các số còn thiếu trong dãy số sau : a. 3, 9, 27, ..., ..., 729. b. 3, 8, 23, ..., ..., 608. Bài 5: Lúc 7h sáng, một người đi từ A đến B và một người đi từ B đến A ; cả hai cùng đi đến đích của mình lúc 2h chiều. Vì đường đi khó dần từ A đến B ; nên người đi từ A, giờ đầu đi được 15km, cứ mỗi giờ sau đó lại giảm đi 1km. Người đi từ B giờ cuối cùng đi được 15km, cứ mỗi giờ trước đó lại giảm 1km. Tính quãng đường AB. Bài 6: Điền các số thích hợp vào ô trống sao cho tổng số 3 ô liên tiếp đều bằng 2010 783 998 Bài 7: Tìm và viết ra các số hạng còn thiếu trong dãy số sau: a. 7, 10, 13,..., ..., 22, 25. b. 103, 95, 87,..., ..., ...., 55, 47. Bài 8: Viết tiếp ba số hạng vào dãy số sau : a) 1; 3; 4; 7; 11; 18; b) 0; 2; 4; 6; 12; 22; c) 0 ; 3; 7; 12; 18; d) 1; 2; 6; 24; .. Dạng 2: Xác định số A có thuộc dãy đã cho hay không? Cách giải của dạng toán này: - Xác định quy luật của dãy; - Kiểm tra số A có thoả mãn quy luật đó hay không? Bài 1: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8,...... a. Dãy số được viết theo quy luật nào? b. Số 2009 có phải là số hạng của dãy không? Vì sao? Bài 2: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26 - Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số trên? - Số 2009 có thuộc dãy số trên không? Tại sao? Bài 3: Em hãy cho biết: a. Các số 60, 483 có thuộc dãy 80, 85, 90,...... hay không? b. Số 2002 có thuộc dãy 2, 5, 8, 11,...... hay không? c. Số nào trong các số 798, 1000, 9999 có thuộc dãy 3, 6, 12, 24,...... giải thích tại sao? Bài 4: Cho dãy số: 1; 2,2; 3,4; ......; 13; 14,2. Nếu viết tiếp thì số 34,6 có thuộc dãy số trên không? Bài 5: Cho dãy số: 1996, 1993, 1990, 1987,......, 55, 52, 49. Các số sau đây có phải là số hạng của dãy không? 100, 123, 456, 789, 1900, 1436, 2009? Bài 6: Cho dãy số: 1, 4, 7, 10,... a. Nêu quy luật của dãy. b. Số 31 có phải là số hạng của dãy không? c. Số 2009 có thuộc dãy này không? Vì sao? Bài 7: Cho dãy số: 1004, 1010, 1016,..., 2012. Hỏi số 1004 và 1760 có thuộc dãy số trên hay không? Bài 8: Cho dãy số: 1, 7, 13, 19,..., a. Nêu quy luật của dãy số rồi viết tiếp 3 số hạng tiếp theo. b. Trong 2 số 1999 và 2009 thì số nào thuộc dãy số? Vì sao? Bài 9: Cho dãy số: 3, 8, 13, 18,...... Có số tự nhiên nào có chữ số tận cùng là 6 mà thuộc dãy số trên không? Dạng 3: Tìm số số hạng của dãy
3. * Cách giải ở dạng này là: Đối với dạng toán này, ta thường sử dụng phương pháp giải toán khoảng cách (toán trồng cây). Ta có công thức sau : Số các số hạng của dãy = số khoảng cách+ 1. Đặc biệt, nếu quy luật của dãy là : Mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng liền trước cộng với số không đổi d thì: Số các số hạng của dãy = ( Số hạng lớn nhất – Số hạng nhỏ nhất ) : d + 1. Bài 1: Cho dãy số 11; 14; 17;.....;65; 68. Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng? Bài 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 10,......, 1992 Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng? Bài 3: Cho 1, 3, 5, 7, ......... là dãy số lẻ liên tiếp đầu tiên; hỏi 1981 là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy số này? Giải thích cách tìm? Bài 4: Cho dãy số: 3, 18, 48, 93, 153,... a. Tìm số hạng thứ 100 của dãy. b. Số 11703 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy? Bài 5: Trong các số có ba chữ số, có bao nhiêu số chia hết cho 4? Bài 6: Cho dãy số: 3, 8, 13, 23, ......,2008.Tìm xem dãy số có bao nhiêu số hạng ? Bài 7: Tìm số số hạng của các dãy số sau: a. 1, 4, 7, 10, ......,1999. b. 1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; ... ; 108,9 ; 110,0. Bài 8: Xét dãy số: 100, 101, ........., 789.Dãy này có bao nhiêu số hạng? Bài 9: Có bao nhiêu số khi chia cho 4 thì dư 1 mà nhỏ hơn 2010 ? Bài 10: Người ta trồng cây hai bên đường của một đoạn đường quốc lộ dài 21km. Hỏi phải dùng bao nhiêu cây để đủ trồng trên đoạn đường đó ? Biết rằng cây nọ trồng cách cây kia 5m. Dạng 4: Tìm số hạng thứ n của dãy số Bài 1: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7,............Hỏi số hạng thứ 100 của dãy số là số nào Bài 2:Tìm số hạng thứ 100 của các dãy số được viết theo quy luật: a) 3, 8, 15, 24, 35,... (1) b) 3, 24, 63, 120, 195,... (2) c) 1, 3, 6, 10, 15,.... (3) Giải: a) Dãy (1) có thể viết dưới dạng: 1x3, 2x4, 3x5, 4x6, 5x7,... Mỗi số hạng của dãy (1) là tích của hai thừa số, thừa số thứ hai lớn hơn thừa số thứ nhất 2 đơn vị. Các thừa số thứ nhất làm thành một dãy: 1, 2, 3, 4, 5, ...; Dãy này có số hạng thứ 100 là 100. Số hạng thứ 100 của dãy (1) bằng: 100x102 = 10200. b) Dãy (2) có thể viết dưới dạng: 1x3, 4x6, 7x9, 10x12, 13x15,... Mỗi số hạng của dãy (2) là tích của hai thừa số, thừa số thứ hai lớn hơn thừa số thứ nhất 2 đơn vị. Các thừa số thứ nhất làm thành một dãy: 1, 4, 7, 10, 13, ...; Số hạng thứ 100 của dãy 1, 4, 7, 10, 13,... là: 1 + (100 – 1 ) x 3 = 298. Số hạng thứ 100 của dãy (2) bằng: 298 x 300 = 89400. Bài 3: Cho dãy số : 101, 104, 107, 110, ...... Tìm số hạng thứ 1998 của dãy số đó. Bài 4: Cho dãy số : 5, 8, 11, 14, ...... a) Tìm số hạng thứ 200 của dãy số. b) Nếu cứ viết tiếp thì các số : 1000 ; 2009 ; 5000 có là số hạng của dãy không ?Tại sao. Bài 5: Một bạn học sinh viết liên tiếp các số tự nhiên mà khi chia cho 3 thì dư 2 bắt
4. đầu từ số 5 thành dãy số. Viết đến số hạng thứ 100 thì phát hiện đã viết sai. Hỏi bạn đó đã viết sai số nào ? Dạng 5: Tìm số chữ số của dãy khi biết số số hạng Bài 1: Cho dãy số: 1, 2, 3,.......150. Hỏi để viết dãy số này người ta phải dùng bao nhiêu chữ số Bài 2: Một quyển sách có 234 trang. Hỏi để đánh số trang quyển sách đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ số. Bài 3: Một bạn học sinh viết liên tiếp các số tự nhiên từ 101 đến 2009 thành 1 số rất lớn. Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số Bài 4: Trường Tiểu học Thành Công có 987 học sinh. Hỏi để ghi số thứ tự học sinh trường đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ số Bài 5: Cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang của một cuốn sách có tất cả là: a) 752 trang. b) 1251 trang. Dạng 6: Tìm số số hạng khi biết số chữ số Bài 1: Để đánh số trang 1 quyển sách người ta dùng hết 435 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang? Bài 2: Để đánh số trang một cuốn sách người ta phải dùng tất cả 600 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang? Bài 3: Để ghi thứ tự các nhà trên một đường phố, người ta dùng các số chẵn 2, 4, 6, 8 . . . để ghi các nhà ở dãy phải và các số lẻ 1, 3, 5, 7 . . . để ghi các nhà ở dãy trái của đường phố đó. Hỏi số nhà cuối cùng của dãy chẵn trên đường phố đó là bao nhiêu, biết rằng khi đánh thứ tự các nhà của dãy này, người ta đã dùng 367 lượt chữ số cả thảy. Giải: Số nhà có số thứ tự ghi bằng 1 chữ số chẵn là: (8 - 2) : 2 + 1 = 4 (nhà) Số nhà có số thứ tự ghi bằng 2 chữ số chẵn là: (98 - 10) : 2 + 1 = 45 (nhà) Số lượt chữ số để đánh số thự tự các nhà có 1 và 2 chữ số là: 4 + 45 × 2 = 94 (lượt) Số lượt chữ số để đánh số thứ tự nhà có 3 chữ số là: 367 - 94 = 273 (lượt) Số nhà có số thứ tự 3 chữ số là: 273 : 3 = 91 (nhà) Tổng số nhà của dãy chẵn là: 4 + 45 + 91 = 140 (nhà) Số nhà cuối cùng của dãy chẵn là: (140 - 1)× 2 + 2 = 280. Bài 4: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7, ..., n. Hãy tìm số n để số chữ số của dãy gấp 3 lần số các số hạng của dãy. Bài 5: Để viết dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 người ta dùng hết 756 chữ số. Hỏi số hạng cuối cùng của dãy số là bao nhiêu. Bài 5: Để ghi số thứ tự học sinh của 1 trường Tiểu học, người ta phải dùng 1137 chữ số. Hỏi trường đó có bao nhiêu học sinh ? Bài 6: Tính số trang của một cuốn sách. Biết rằng để đánh số trang của cuốn sách đó người ta phải dùng 3897 chữ số? Bài 7: Để đánh số trang của một quyển sách, người ta phải dùng trung bình mỗi trang 4 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang? Dạng 7: Tìm chữ số thứ n của dãy Bài 1: Cho dãy số 1, 2, 3,..... Hỏi chữ số thứ 200 là chữ số nào ? Bài 2: Cho dãy số 2, 4, 6, 8, ..... Hỏi chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số nào? 1 Bài 3: Tìm chữ số thứ 2010 ở phần thập phân của số thập phân bằng phân số 7 Bài 4: Cho 1 số có 2 chữ số, một dãy số được tạo nên bằng cách nhân đôi chữ số hàng đơn vị của số này rồi cộng với chữ số hàng chục, ghi lại kết quả; tiếp tục như vậy
5. với số vừa nhận được ... (Ví dụ có thể là dãy: 59, 23, 8, 16, 13, ... ). Tìm số thứ 2010 của dãy nếu số thứ nhất là 14. Bài 5: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11,.......Hãy tìm chữ số thứ 200 của dãy số đó. Bài 6: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, ..... Bạn Minh tìm được chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số 0, hỏi bạn tìm đúng hay sai? 5 Bài 7: Bạn Minh đang viết phân số dưới dạng số thập phân. Thấy bạn Thông sang 13 chơi, Minh liền dố: Đố bạn tìm được chữ số thứ 100 ở phần thập phân của số thập phân mà tớ đang viết. Thông nghĩ 1 tí rồi trả lời ngay: đó là chữ số 6. Em hãy cho biết bạn Thông trả lời đúng hay sai? Dạng 8: Tìm số hạng thứ n khi biết tổng của dãy số Bài 1: Cho dãy số: 1, 2, 3, ......., n. Hãy tìm số n biết tổng của dãy số là 136, Bài 2: Cho dãy số: 21, 22, 23, ......, n Tìm n biết: 21 + 22 + 23 + ..........+ n = 4840 Bài 3: Cho biết: 1 + 2 + 3 +........+ n = 345. Hãy tìm số n. Bài 4: Tìm số n biết rằng 98 + 102 +........+ n = 15050 Bài 5: Cho dãy số 10, 11, 12, 13, ..., x. Tìm x để tổng của dãy số trên bằng 5106 Dạng 9: Tính tổng của dãy số Các Bài toán được trình bày ở chuyên đề này được phân ra hai dạng chính, đó là: Dạng thứ nhất: Dãy số với các số hạng là số nguyên, phân số (hoặc số thập phân) cách đều Dạng thứ hai: Dãy số với các số hạng không cách đều. Dạng 1: Dãy số mà các số hạng cách đều.: Tổng của dãy số cách đều = (số đầu + số cuối) x (số số hạng : 2) Từ sơ đồ trên ta suy ra: Số đầu của dãy = tổng x 2 : số số hạng – số hạng cuối. Số cuối của dãy = tổng x 2 : số số hạng – số đầu. Bài 1: Tính tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên. Bài 2: Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + ...+ 98,99 + 100 Bài 3: Tính tổng tất cả số thập phân có phần nguyên là 9, phần thập phân có 3 chữ số Bài 4: Phải thêm vào tổng các số hạng trong dãy số: 2, 4, 6, 8, ..., 246 ít nhất bao nhiêu đơn vị để được số chia hết cho 100 ? Dạng 2: Dãy số mà các số hạng không cách đều.( Tính nhanh phân số) Bài 1: Tính tổng: a) Của tất cả các số lẻ bé hơn 100 b) 1 + 4 + 9 + 16 + ...... + 169 Bài 2: a) Tính nhanh tổng của tất cả các số có 3 chữ số. b) 1, 2, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Dãy số trên có mười số hạng Tổng bao nhiêu, mời bạn tính nhanh Đố em, đố chị, đố anh Tìm ra phương pháp tính nhanh mới tài. Bài 3: Hãy tính tổng của các dãy số sau: a) 1, 5, 9, 13, 17, ...Biết dãy số có 80 số hạng. b) ..., 17, 27, 44, 71, 115. Biết dãy số có 8 số hạng. Bài 4: Tính nhanh: a) 1,27 + 2,77 + 4,27 + 5,77 + 7,27 + ... + 13,27 + 14,77
6. b) 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + ... + 0,9 + 0,10 + 0,11 + 0,12 + ... + 0,19. Dạng 10: Dãy chữ Bài 1: Người ta viết liên tiếp nhóm chữ: HOCSINHGIOITINH thành một dãy chữ liên tiếp: HOCSINHGIOITINHHOCSINHGIOI...... hỏi chữ cái thứ 2009 của dãy là chữ cái nào? Bài 2: Một người viết liên tiếp nhóm chữ THIXAHAIDƯƠNG thành dãy THIXAHAIDƯƠNGTHIXAHAIDƯƠNG ...... Hỏi: a. Chữ cái thứ 2002 trong dãy này là chữ gì? b. Nếu người ta đếm được trong dãy số có 50 chữ H thì dãy đó có bao nhiêu chữ A? Bao nhiêu chữ N? c. Bạn Hải đếm được trong dãy có 2001 chữ A. Hỏi bạn ấy đếm đúng hay đếm sai? Giải thích tại sao? d. Người ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự: XANH, ĐỎ, TÍM, VÀNG, XANH, ĐỎ, TÍM,... hỏi chữ cái thứ 2001 trong dãy được tô màu gì? Bài 3: Bạn Hải cho các viên bi vào hộp lần lượt theo thứ tự là: bi xanh, bi đỏ, bi vàng rồi lại đến bi xanh, bi đỏ, bi vàng ... cứ như vậy. Hỏi: a) Viên bi thứ 100 có màu gì? b) Muốn có 10 viên bi đỏ thì phải bỏ vào hộp ít nhất bao nhiêu viên bi? Bài 4: Một người viết liên tiếp nhóm chữ: TOANNAM thành dãy: TOANNAMTOANNAMTOAN...... Hỏi: a. Chữ cái thứ 2010 trong dãy là chữ gì? b. Nếu người ta đếm được trong dãy có 50 chữ N thì dãy đó có bao nhiêu chữ A? Bao nhiêu chữ O? c. Một người đếm được trong dãy có 2009 chữ A, hỏi người đó đếm đúng hay sai? Giải thích tại sao? d. Người ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự XANH, ĐỎ, TÍM, VÀNG, XANH, ĐỎ, TÍM...... hỏi chữ cái thứ 2009 trong dãy được tô màu gì? Bài 5: Người ta viết các chữ cái D, A, Y, T, O, T, H, O, C, T, O, T,...... thành dãy: DAYTOTHOCTOTDAYTOT... bằng 3 màu xanh, đỏ, tím, mỗi tiếng một màu. Hỏi chữ cái thứ 2010 là chữ cái gì? Màu gì? Bài 6: Bạn Dương viết liên tiếp các nhóm chữ DIENBIENPHU thành dãy: DIENBIENPHUDIENBIENPHU ... Hỏi: a) Chữ cái thứ 1954 là chữ gì? b) Nếu trong dãy đã viết có 2010 chữ E thì có bao nhiêu chữ H? Bài 7: Một người viết liên tiếp nhóm chữ TOQUOCVIETNAM thành dãy TOQUOCVIETNAM TOQUOCVIETNAM ... Hỏi: a) Chữ cái thứ 1975 trong dãy là chữ gì? b) Người ta đếm được trong dãy đó có 50 chữ T thì dãy đó có bao nhiêu chữ O? Bao nhiêu chữ I? c) Bạn An đếm được trong dãy có 1945 chữ O. Hỏi bạn ấy đếm đúng hay sai? Vì sao? d) Người ta tô màu vào các chữ cái trong dãy trên theo thứ tự: xanh, đỏ, tím, vàng, xanh, đỏ, tím, vàng, ...Hỏi chữ cái thứ 2010 được tô màu gì?