Bộ đề thi Toán vào Lớp 10 - Năm học 2021-2022

Nội dung tài liệu: Bộ đề thi Toán vào Lớp 10 - Năm học 2021-2022

1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KIỂM TRA KHẢO SÁT THI VÀO 10 TRƯỜNG THCS & THPT NGUYỄN TẤT THÀNH NĂM HỌC 2021 - 2022 MƠN: TỐN Thời gian làm bài 90 phút I. TRẮC NGHIỆM ( 2 ĐIỂM) ( Chọn phương án đúng) Câu 1: (0,25 điểm). Tập hợp nghiệm của phương trình xx2 2 1 0 là: 26 26  26 26 A. . B. . C. . D. .  2  2  2  2 Câu 2: (0,25 điểm). Giá trị của biểu thức 9 4 2 9 4 2 là: A. 2. B. 42. C. 42. D. 0 . Câu 3: (0,25 điểm). Hàm số nào sau đây là hàm nghịch biến trên tập số thực : A. yx 2 1. B. yx 2 3. C. yx 3 2 . D. yx 1 2 . Câu 4: (0,25 điểm). Biết rằng nhiệt lượng tỏa ra trên dây dẫn được tính bằng cơng thức Q 0,24 RI2 t , trong đĩ Q là nhiệt lượng tính bằng calo, R là điện trở tính bằng ơm (Ω) , I là cường độ dịng điện tính bằng ampe (A) , t là thời gian tính bằng giây ()s . Dịng điện chạy qua một dây dẫn cĩ điện trwor R 10 trong thời gian 1 giây. Khi đĩ cường độ dịng điện là bao nhiêu thì nhiệt lượng tỏa ra bằng 60 calo? A. 25A . B. 2,5A . C. 5.A D. 10A . Câu 5: (0,25 điểm). Cho ABC nội tiếp đường trịn ()O cĩ số đo cung nhỏ AB là 144o , số đo cung nhỏ AC là 92o . Số đo gĩc BAC là: A. 124o . B. 72o . C. 62o . D. 46o . 11 Câu 6: (0,25 điểm). Cho phương trình 2xx2 3 4 0 . Khi đĩ giá trị của là: xx12 3 3 A. . B. 3. C. . D. 3 . 4 4 Câu 7: (0,25 điểm). Toạ độ giao điểm của hai đồ thị của hai hàm số yx 22 và yx 21 là: A. 5 4 2;4 3 2 . B. 4 2 5;4 3 2 . C. 4 2 5;5 2 6 . D. 5 4 2;5 2 6 . Câu 8: (0,25 điểm). Từ một điểm M ở ngồi đường trịn kẻ một tiếp T M tuyến MT của (T là tiếp điểm) và một cát tuyến MAB đi qua O (hình bên). A Cho MT 20 cm ; MB 50 cm. Độ dài bán kính đường trịn là: O A. 8cm B B. 21cm C. 16cm D. 42cm
2. II. TRẢ LỜI NGẮN ( 2 ĐIỂM) ( Khơng trình bày lời giải, chỉ viết đáp số của bài tốn) x 1 x 1 3 x 1 Câu 9: (0,5 điểm). Rút gọn biểu thức: A , với 01 x . xx 11x 1 Câu 10: (0,5 điểm). Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm: 4x2 3 x m 1 0. Câu 11: (0,5 điểm). Cho đường trịn (O;5cm) điểm M nằm bên ngồi đường trịn. Kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường trịn (A,B là các tiếp điểm). Biết AMB 60o . Tính chu vi tam giác AMB. Câu 12: (0,5 điểm). Tìm một số tự nhiên cĩ hai chữ số, biết tổng các chữ số của số đĩ là 12. Nếu đổi chỗ các chữ số của số đĩ cho nhau ta nhận được một số mới lớn hơn số ban đầu là 36 đơn vị. III. TỰ LUẬN ( 2 ĐIỂM) ( Trình bày lời giải chi tiết) Câu 13: (2,0 điểm). Cho hai hàm số: y 2x 3 d và y x2 P 1. Vẽ đồ thị hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy 2. Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) Câu 14: (3,0 điểm). Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường trịn (O;R), đường kính AI. Lấy M là điểm tùy ý trên cung nhỏ AC. Gọi Mx là tia đối của tia MC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD = MC. 1. Chứng minh AMx ABC và MA là tia phân giác của gĩc BMx. 2. Chứng minh đường thẳng AM là đường trung trực của CD và MI//CD. 3. Gọi N là giao điểm thứ hai của AD với đường trịn (O). P là giao điểm thứ hai của phân giác gĩc IBN với đường trịn (O). Chứng minh đường thẳng DP luơn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên cung nhỏ AC. Câu 15: (1,0 điểm). 1. Ngồi trên đỉnh nĩi cao 1km thì cĩ thể nhìn thấy 1 điểm T trên mặt đất với khoảng cách tối đa là bao nhiêu ki lơ mét (làm trịn đến chữ số thập phân thứ nhất)? Biết bán kính trái đất gần bằng 6400 km và coi như chiều cao người ngồi khơng đáng kể (xem hình minh họa ở bên) 11 2. Cho xy,0 và xy 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của B 11 22 . xy ---HẾT---
3. HƯỚNG DẪN GIẢI I. TRẮC NGHIỆM ( 2 ĐIỂM) ( Chọn phương án đúng) Câu 1: (0,25 điểm). Tập hợp nghiệm của phương trình là: A. B. C. D. Hưxxớ2 ng d2ẫn 1 0 26 cĩ: Δ b 2 264 ac 2 4 6 0  26 26 . . . .  2  2 bb  ΔΔ2 2 6  2 2 6 Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt: xx ; 112aa 2 2 2 Chọn B. 9 4 2 9 4 2 Câu 2: (0,25 2 điểm). Giá trị của bi ể42u thức 42 là: 0 A. . B. . C. . D. .: Hướng dẫn yx 2 1. yx 2 3. yx 3 2 . yx 1 2 . 22 942 942 221 221 221221 2 Q 0,24 RI2 t , ChọQn A. R (Ω) I Câu 3: (0,25 điểm)(A). Hàmt số nào sau đây là hàm nghịch()s biến trên tập số thực A.R 10 B. C. D. 60 Hướng dẫn Hàm số y ax b ( a 0) đồng biến trên khi a 0, nghịch biến trên khi a 0. 25A . 2,5A . 5.A 10A . Chọn D. Câu 4: (0,25 điểm). Biết r ằABCng nhiệt lượng tỏa ra trên() dâyO dẫn được tính bằngAB cơng 144thứco trong đĩ là nhiệt lượng tính bằng calo, là điện trở tính bằng ơm , là cường độ dịng điện tính AC 92o BAC bằng ampe , là thời gian tính bằng giây . Dịng điện chạy qua một dây dẫn cĩ điện trwor o o o o 124 trong thời gian 172 giây. Khi đĩ cường độ62 dịng điện là bao nhiêu46 thì nhiệt lượng tỏa ra bằng calo? 11 2 A. B. 2xx 3 4 C. 0 D. xx12 Hướng dẫn 3 3 Ta cĩ: Q 60 calo; R 10 3Ω ; ts 1 3 4 4 QQ60 Áp dụng cơng thức: Q 0,24 RI22 t I I 5 (A ) 0,24Rt 0,24Rt 0,24.10.1 Chọn C. Câu 5: (0,25 điểm). Cho nội tiếp đường trịn cĩ số đo cung nhỏ là , số đo cung nhỏ là . Số đo gĩc là: A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn Câu 6: (0,25 điểm). Cho phương trình . Khi đĩ giá trị của là: A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn Chọn A.
4. Câu 7: (0,25 điểm). Toạ độ giao điểm của hai đồ thị của hai hàm số và là: x 1 x 1 3 x 1 A. . A B. 01. x xx 11x 1 C. . D. . Hướng dẫn Chọn C. Câu 8: (0,25 điểm). Từ một điểm ở ngồi đường trịn kẻ một tiếp tuyến của ( là tiếp điểm) và một cát tuyến đi qua (hình bên). Cho . Độ dài bán kính đường trịn là: A. B. C. D. Hướng dẫn Chọn B. II. TRẢ LỜI NGẮN ( 2 ĐIỂM) ( Khơng trình bày lời giải, chỉ viết đáp số của bài tốn) Câu 9: (0,5 điểm). Rút gọn biểu thức: ()O , với . Hướng dẫn +) Với , ta cĩ: x 1 x 1 x 1 x 1 31x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 22 x 1 x 1 3 x 1 yx 22 yx 21 xx 11 5x 42 2 x;4 1 3 2 x 2 x 1 3 x 1 4 2 5;4 3 2 4 2 5;5 2xx 6 11 5 4 2;5 2 6 x 2 x 1 x 2 x 1M 3 x 1 T M MT xx 11 T x 1 MAB O A MTxx 11 20 cm ; MB 50 cm O 1 8cm . B 21xcm 1 1 Vậ16y cmA . 42cm x 1
5. Câu 10: (0,5 điểm). Tìm để phương trình sau cĩ nghiệm: . Hướng dẫn +) Để phương trình cĩ nghiệm khi và chỉ khi: 0 2 3 4.4. m 1m 0 4x2 3 x m 1 0 9 16m 16 0 25 16m 0 16m 25 AMB 60o 25 m . 16 25 Vậy với m thì phương trình đã cho cĩ nghiệm. 16 y 2x 3 d y x2 P Câu 11: (0,5 điểm). Cho đường trịn (O;5cm) điểm M nằm bên ngồi đường trịn. Kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường trịn (A,B là các tiếp điểm). Biết Oxy. Tính chu vi tam giác AMB. Hướng dẫn Chu vi tam giác AMB là: 10 3 10 Câu 12: (0,5 điểm). Tìm một số tự nhiên cĩ hai chữ số, biết tổng các chữ số của số đĩ là 12. Nếu đổi chỗ các chữ số của số đĩ cho nhau ta nhận được một số mới lớn hơn số ban đầu là 36 đơn vị. Hướng dẫn Số cần tìm là: 48 III. TỰ LUẬN ( 2 ĐIỂM) ( Trình bày lời giải chi tiết) Câu 13: (2,0 điểm). Cho hai hàm số: và 1. Vẽ đồ thị hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ 2. Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) Hướng dẫn 1. Vẽ đồ thị hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ *) Cho x = 0 ⇒ y = 3 3 Cho y = 0 ⇒ x = 2 3 Vậy đồ thị hàm số y = 2x + 3 là đường thẳng đi qua 2 điểm cĩ tọa độ (0;3) và ;0 2 *) ) Ta cĩ bảng giá trị sau x –2 –1 0 1 2 y 4 1 0 1 4 Vậy đồ thị hàm số y = x2 là Parabol đi qua 5 điểm cĩ tọa độ (−2;4), (−1;1), (0;0), (1;1), (2;4)
6. 2. Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) Phương trình hồnh độ giao điểm của (d) và (P) là: 22 x 1 2x 3 x x – 2 x – 3 0 x 1 x – 3 0 x 3 Với x = –1, thay vào (P) ta được y = (–1)2 ⇔ y = 1 ⇒ (–1; 1) Với x = 3, thay vào (P) ta được y = 32 ⇔ y = 9 ⇒ (3; 9) Vậy (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt cĩ tọa độ là (–1; 1) và (3; 9). Câu 14: (3,0 điểm). Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường trịn (O;R), đường kính AI. Lấy M là điểm tùy ý trên cung nhỏ AC. Gọi Mx là tia đối của tia MC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD = MC. AMx ABC 1. Chứng minh và MA là tia phân giác của gĩc BMx. 2. Chứng minh đường thẳng AM là đường trung trực của CD và MI//CD. 3. Gọi N là giao điểm thứ hai của AD với đường trịn (O). P là giao điểm thứ hai của phân giác gĩc IBN với đường trịn (O). Chứng minh đường thẳng DP luơn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên cung nhỏ AC. Hướng dẫn x D A M H O B C I 1. Chứng minh và MA là tia phân giác của gĩc BMx. Ta cĩ tứ giác ABCM nội tiếp O AMC ABC 180  AMC 180  ABC , mà AMx 180  AMC (hai gĩc kề bù) AMx ABC (cùng bù với AMC ) (1). Mặt khác ABC cân ABC ACB (tính chất tam giác cân) (2). Lại cĩ ACB AMB (hai gĩc nội tiếp cùng chắn AB ) (3).
7. Từ (1); (2) và (3) ta cĩ AMx AMB MA là tia phân giác của BMx . 2. Chứng minh đường thẳng AM là đường trung trực của CD và MI//CD. Gọi H là giao điểm của AM và CD, ta cĩ: AMx HMC; AMB HMD (hai gĩc đối đỉnh) mà AMx AMB (chứng minh trên) HMC HMD MH là tia phân giác của CMD . Vì MD MC GT MCDcân tại cĩ HM là phân giác nên cũng là trung trực của . Vậy là trung trực của AM CD . Mặt khác AMI 90 (gĩc nội tiếp chắn đường kính AI ) AM MI . Vậy MI// CD cùng vuơng gĩc . 3. Gọi N là giao điểm thứ hai của AD với đường trịn (O). P là giao điểm thứ hai của phân giác gĩc IBN với đường trịn (O). Chứng minh đường thẳng DP luơn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên cung nhỏ AC. x D A M H N P O C B AC I K Ta cĩ là trung trực của AC AD (1). BP là tia phân giác của NBI NBP IBP NP IP (hai gĩc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau) PN PI (hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau). Mà ON OI (bán kính của O ) PO là trung trực của NI PO NI . Lại cĩ INA 90 (gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn) IN NA hay NI AD OP// AD (cùng vuơng gĩc với ). OP KO KO OP Theo hệ quả của định lý Ta-let, ta cĩ : , do (1) ta cĩ AD AC . AD KA KA AC OP KO OP R; AC khơng đổi nên khơng đổi khơng đổi mà AO, cố định nên K cố định. M AC KA Vậy khi chạy trên cung nhỏ thì DP luơn đi qua điểm cố định. Câu 15: (1,0 điểm). 1. Ngồi trên đỉnh nĩi cao 1km thì cĩ thể nhìn thấy 1 điểm T trên mặt đất với khoảng cách tối đa là bao nhiêu ki lơ mét (làm trịn đến chữ số thập phân thứ nhất)? Biết bán kính trái đất gần bằng 6400 km và coi như chiều cao người ngồi khơng đáng kể (xem hình minh họa ở bên)
8. 2. Cho và . Tìm giá trị nhỏ nhất của . Hướng dẫn 1. Điểm nhìn tối đa là tiếp tuyến kể từ mắt nhìn đến tiếp điểm của bề mặt trái đất (như hình vẽ) Ta cĩ: MAT∽ MTB MT2 MAMB. MT2 MA MA 2 R Chiều cao của đỉnh núi là MA 1 km, bán kính R 6400 km Thay số ta cĩ: MT 2 1() 1 12800 12801 MT113,1 km. 2. Cho và . Tìm giá trị nhỏ nhất của . 1 1 1 1 1 xy22 1 Ta cĩ B 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 x y x y xy xy xy 2 x y 2 xy 1 B 1 xy 22 xy 1 2xy 1 2 Do nên BB 11 . xy 22 xy xy 2 xy 11 Mặt khác xy 4 . 44xy 11 Do đĩ xyBB,0 1 2.4 xy 91. Giá trị nhỏ nhất của B là B9. 11 22 1 xy Dấu bằng xảy ra khi xy . 2 ---HẾT---
9. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KIỂM TRA KHẢO SÁT THI VÀO 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2021 - 2022 Đề chung các chuyên MƠN: TỐN Thời gian làm bài 90 phút x xyyx xy y Câu I (2 điểm). Cho biểu thức A với x y 0 . x x y y x x y y 2 x 1) Chứng minh A . x y 4 x 2) Giả sử A , tính B . 3 y y Câu II. (2 điểm) 1) Bác Hoa gửi tiết kiệm với số tiền là 400 triệu đồng vào một ngân hàng, kì hạn 12 tháng và theo thể thức lãi kép. Nếu khơng rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho năm tiếp theo. Giả sử lãi suất cố định là x%/ năm, x 0 . Tính x biết rằng sau hai năm gửi tiết kiệm, bác Hoa nhận được số tiền (bao gồm cả gốc lẫn lãi) là 449,44 triệu đồng. 2 2 x 1 y 1 4 2) Giải hệ phương trình: . x 1 y 1 2x 2y 2 Câu III. (1,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho ba đường thẳng dy1 : 2x 3; dy2 : x; d3 : y x m với m là tham số. 1) Tìm m để ba đường thẳng đã cho đồng quy. 2) Tìm m để d3 cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm AB, phân biệt và diện tích của tam giác OAB bằng 8. Câu IV (3,5 điểm). Cho tam giác ABC vuơng tại C cĩ ABC 60 . Dựng tam giác cân BEC ra phía ngồi tam giác ABC sao cho BEC 150 . Gọi D là điểm đối xứng với C qua AB, F là giao điểm của AB và DE. G là giao điểm của AE và CD. a) Chứng minh tứ giác ABEC nội tiếp. b) Tính số đo gĩc BED. c) Chứng minh BC FG. Câu IV (1 điểm). Cho các số a, b, c thay đổi thỏa mãn 1 a2; 1 b 2; 1 c 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S ab 2 bc 2 c a 2 . ---HẾT---
10. HƯỚNG DẪN x xyyx xy y Câu I (2 điểm). Cho biểu thức A với x y 0 . x x y y x x y y 2 x 1) Chứng minh A . x y 4 x 2) Giả sử A , tính B . 3 y y Hướng dẫn x xyyx xy y 1) A x x y y x x y y x xyy x xy y 3 3 3 3 x y x y x xy y x xy y x yx xyy x yx xy y 11 x yx y x y x y x y x y 2 x (ĐPCM). x y 4 2) Ta cĩ: A 3 y 2x 4 x y 3 y x 2 x y 3 y 23xxy 2 y 0 (1) Vì y 0 chia cả hai vế của phương trình (1) cho y ta được: xx 2 3. 2 0 yy x Đặt a a 0 phương trình trở thành: y 2a2 3a 2 0 32 4.2. 2 25 0 Do đĩ phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt là: x x 2 4 a1 2 TM y y 1 1 . Vậy B 4 hoặc B . x 1 4 a2 TM x 1 2 y 4 y 2
11. Câu II. ( 2 điểm) 3) Bác Hoa gửi tiết kiệm với số tiền là 400 triệu đồng vào một ngân hàng, kì hạn 12 tháng và theo thể thức lãi kép. Nếu khơng rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho năm tiếp theo. Giả sử lãi suất cố định là x%/ năm, x 0 . Tính x biết rằng sau hai năm gửi tiết kiệm, bác Hoa nhận được số tiền (bao gồm cả gốc lẫn lãi) là 449,44 triệu đồng. 2 2 x 1 y 1 4 4) Giải hệ phương trình: . x 1 y 1 2x 2y 2 Hướng dẫn x 1) Sau một năm bác Hoa cĩ số tiền là 400. 1 ( triệu đồng). 100 x x Sau hai năm bấc Hoa nhận được số tiền là 400. 1 .1 449, 44 ( triệu đồng). 100 100 2 x x x Ta cĩ 400. 1 .1 449, 44 400. 1 449,44 100 100 100 2 x 2809 1 x 0 x 6 . 100 2500 Vậy bác Hoa gửi ngan hàng với lãi 6% /năm. 2 2 u x 1 x 1 y 1 4 2) Đặt v y 1 x 1 y 1 2x 2y 2 2 2 2 u v 8 u 2 v 2 4 u v 8 u v 8 uv.2 u 2v 6 uv.2 u 2v 6 uv.2 u 2v 6 u v 8 u 22 x 1 2 uv.2 u26v v 2 2 y 1 2 . u v 8 u 22 x 1 2 uv.2 u 2v 6 v 2 2 y 1 2 Câu III. (1,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho ba đường thẳng dy1 : 2x 3; dy2 : x; d3 : y x m với m là tham số. 1) Tìm m để ba đường thẳng đã cho đồng quy. 2) Tìm m để d3 cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm AB, phân biệt và diện tích của tam giác OAB bằng 8. Hướng dẫn 1) Hồnh độ giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 là nghiệm của phương trình: 23x x 3x 3 x 1 y 1 . Vậy ta cĩ d1 và d2 cắt nhau tại I 1; 1 . Để ba đường thẳng đã cho đồng quy thì d3 đi qua I 1; 1 tức là x 1 thì y 1 thay vào phương trình của d3 ta cĩ: 1 1 m m 2 . Vậy m 2 là giá trị cần tìm. 2) Xét d3 : y x m : Với x 0 y m . Với y 0 xm 0 x m .
12. Vậy d3 cắt Ox tại A m;0 và cắt Oy tại B 0; m , ta cĩ OA m; OB m . Theo bài ra ta cĩ diện tích tam giác OAB bằng 8 1 1 OAOB. 8 mm. 8 m2 16 m 4 . 2 2 Vậy m 4 là giá trị cần tìm. Câu IV (3,5 điểm). Cho tam giác ABC vuơng tại C cĩ ABC 60 . Dựng tam giác cân BEC ra phía ngồi tam giác ABC sao cho BEC 150 . Gọi D là điểm đối xứng với C qua AB, F là giao điểm của AB và DE. G là giao điểm của AE và CD. a) Chứng minh tứ giác ABEC nội tiếp. b) Tính số đo gĩc BED. c) Chứng minh BC FG. Hướng dẫn D a) Tam giác ABC vuơng tại C cĩ ABC 60 BAC 30 Xét tứ giác ABEC cĩ BAC BEC 30 150 180 Tứ giác ABEC nội tiếp (dhnb) B F b) Tam giác cân BEC cĩ BEC 150 EBC ECB 15 D là điểm đối xứng với C qua AB AB là đường trung trực của CD BC BD E AC AD G CD AB BCD 90 ABC 30 Xét BCA và BCD C A BC BD AC AD AB chung BCA BCDccc .. BCA BCD 90 Xét tứ giác ADBC cĩ BCA BDA 90 90 180 Tứ giác ADBC nội tiếp (dhnb) 5 điểm ABCDE,,,, cùng thuộc 1 đường trịn BECD là tứ giác nội tiếp BED BCD 30 c) Xét tứ giác nội tiếp ABEC FAG EAB ECB 15 Xét tứ giác nội tiếp BDCE FDG EDC EBC 15 Xét tứ giác nội tiếp ABCD BCD BAD 30 Xét tứ giác AGFD cĩ FAG FDG 15 Tứ giác AGFD nội tiếp (dhnb) FGD FAD BCD FG BC (2 gĩc ở vị trí đồng vị) Câu IV (1 điểm). Cho các số a, b, c thay đổi thỏa mãn 1 a2; 1 b 2; 1 c 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S ab 2 bc 2 c a 2 . Hướng dẫn Cách 1. Khơng mất tính tổng quát ta giả sử 1 c b a 2 0 ab 1 ab 2 a b .
13. a b Đẳng thức xảy ra a 2;b 1 Tương tự ta cĩ: 0 bc 1 bc 2 b c 0 ac 1 ac 2 a c Suy ra: S ab 2 bc 2 ca 2 ab 2 bc 2 ac 2 abbcac2 a c 2 a 2;b c 1 Dấu “=” xảy ra ab 2; c 1 Vậy Smax 2 a,, b c là một hốn vị của 2; 1; 1 hoặc 2; 2; 1 . Cách 2. Đặt a c x; b c y . 0 ac1 0 x 1 Khơng mất tính tổng quát ta giả sử 1 c b a 2 . 0 bc1 0 y 1 Ta cĩ: S ab 2 bc 2 c a 2 2 2 2 ac bc bc a c xy 2 x2 y 2 x2 2xyy 2 x2 y2 2 x2 xy y2 (1) x x 1 0 x2 x 0 x 1 2 Do y y 1 0 y y (2) 0 y 1 xy x y 1 x 1 y 1 0 Từ (1) và (2) S 2 xxy 1 y 2 . x 1;y 0 a 2;b c 1 Dấu “=” xảy ra . xy 1 ab 2; c 1 Vậy Smax 2 a,, b c là một hốn vị của 2; 1; 1 hoặc 2; 2; 1 . ---HẾT---
14. TRƯỜNG THCS – THPT LƯƠNG THẾ VINH ĐỀ THI THỬ VÀO 10 (LẦN 2) NĂM HỌC 2021 - 2022 MƠN: TỐN Thời gian làm bài 90 phút 25x 6 x 1 2 x xx 6 Bài 1 (2,0 điểm): Cho hai biểu thức: A và B với x 0; x 1; x 36. x 36 66 xx x 1 1) Tính giá trị biểu thức B với x 16 2) Rút gọn biểu thức A 3) Cho T AB . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T Bài 2 (2,5 điểm) 1) Giải bài tốn bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Hơm chủ nhật trước, Dũng được bố chở bằng xe máy đi về quê cách nhà 60 km với vận tốc dự định. Trên 1 đường về do cĩ quãng đường là đường xấu nên để đảm bảo an tồn, bố bạn đã phải giảm bớt vận tốc đi 3 10km/h, do đĩ đã về tới quê chậm mất phút so với dự kiến. Tính vận tốc dự định của hai bố con bạn. 2) Tìm chiều dài của dây kéo cờ, biết bĩng của cột cờ (chiếu bởi ánh sáng mặt trời) dài 6m và gĩc nhìn mặt trời là 60 . 1) Giải bài tốn bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Hơm chủ nhật trước, Dũng được bố chở bằng xe máy đi về quê cách nhà km với vận tốc dự định. Trên đường về do cĩ quãng đường là đường xấu nên để đảm bảo an tồn, bố bạn đã phải giảm bớt vận tốc đi km/h, do đĩ đã về tới quê chậm mất phút so với dự kiến. Tính vận tốc dự định của hai bố con bạn. Bài 3 (2,5 điểm) 1) Giải hệ phương trình . 14 2x 1 10 21y . 5 23 x 1 2y 1 7 2) Cho phương trình x2 2 m 5 x 2 m 9 0 a) Giải phương trình với m 10 . b) Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt xx12; thỏa mãn điều kiện xx12 20. Bài 4: (3,0 điểm). Cho ABC cĩ ba gĩc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O . Các đường cao AD,, BE CF cắt nhau tại H . a) Chứng minh AEHF, BCEF là các tứ giác nội tiếp. b) Kẻ đường kính AM của O . Chứng minh BHCM là hình bình hành và AB.. AC AD AM c) Cho BC cố định, di động trên cung lớn sao cho cĩ ba gĩc nhọn, BE cắt tại I , CF cắt tại J . Chứng minh rằng đoạn IJ cĩ độ dài khơng đổi. Bài 5: (0,5 điểm) Cho a,b là các số thực làm cho phương trình ẩn x sau cĩ nghiệm: x2 2 2 a b x 5 a2 4 ab 2 b2 1 0 Chứng minh rằng: ab2020 2021 2 ---HẾT---
15. HƯỚNG DẪN Bài 1 (2,0 điểm): Cho hai biểu thức: và với . 1) Tính giá trị biểu thức với 2) Rút gọn biểu thức 3) Cho . Tìm giá trị nhỏ25 nhấxt củ 6a biểu x th 1ức T 2 x xx 6 A B x 0; x 1; x 36 x 36 Hư66 ớngxx dẫn x 1 B x 16 xx 6 16 6.4 8 1) Giá trị (thỏa mãn điều kiện). Thay vào biểu thức ta được: B A x 1 4 1 3 T AB 8 Vậy khi thì B 3 b) Với xx 0; 36. Ta cĩ: 25x 6 x 1 x 6 2 x x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 25x 6 x 1 x 6 2 x x 6 xx 66 25xxx 6 5 6 2x 12 x x 66 x 3x 18 x 3xx 63 x x 66 x x 6 x 6 x 6 3 x Vậy A Với . x 6 3x x 6 x 3 x xx 6 3x x 0 3) Ta cĩ: AB.. . ĐK AB là . x 6 x 1 x 6 x 1 x 1 xx 1; 36 Với x 0 T AB 0. Với xx 1; 36 . 3xx 3 3 3 3 x 1 3 3 AB 31 x x 1 x 1 x 1 x 1 3 3 x 1 6 x 1 33 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si với 2 số dương ta được: 3 xx 1 2 3 1 . 6 xx 11 3 3 x 1 6 12 T AB 12 2 3 x 1 3 2 x 1 1 x 4( tm ) Dấu = xảy ra khi 3 xx 1 1 1 x 1 x 11 x 0 ( k tm) Tx 2 3 4 . Kết hợp hai trường hợp ta cĩ MinTx 00
16. Bài 2 (2,5 điểm) 1) Giải bài tốn bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Hơm chủ nhật trước, Dũng được bố chở bằng xe máy đi về quê cách nhà km với vận tốc dự định. Trên đường về do cĩ quãng đường là đường xấu nên để đảm bảo an tồn, bố bạn đã phải giảm bớt vận tốc đi km/h, do đĩ đã về tới quê chậm mất phút so với dự kiến. Tính vận tốc dự định của hai bố con bạn. 2) Tìm chiều dài của dây kéo cờ, biết bĩng của cột cờ (chiếu bởi ánh sáng mặt trời) dài 6m và gĩc nhìn mặt trời là 1) Giải bài tốn bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Hơm chủ nhật trước, Dũng được bố chở bằng xe máy đi về quê cách nhà km với vận tốc dự định. Trên đường về do cĩ quãng đường là đường xấu nên để đảm bảo an tồn, bố bạn đã phải giảm bớt vận tốc đi km/h, do đĩ đã về60 tới quê chậm mất phút1 so với dự kiến. Tính vận tốc dự định của hai bố con bạn. 3 10 Hướng dẫn Gọi vận tốc dự định của hau bố con bạn là x ( km/h,x 10 ). 60 . 60 Chiều dài quãng đường là km, thời gian dự định đi hết quãng đường là (giờ). x 60 20 Chiều dài quãng đường xấu là: 20km, xe đi với vận tốc x 10 km/h với thời gian là giờ. 3 x 10 40 Chiều dài quãng đường đi với vận tốc dự định là 40 km với thời gian là: giờ. x 1 Vì hai bố con bạn về quê chậm phút giờ so với dự kiến nên ta cĩ phương trình: 6 20 40 60 1 20 20 1 20xx 20 200 1 x14 10 x x6 x 10 x 6x2 10 x 6 2x 1 10 21y 2 x 40 (tmđk) xx 10 1200 0 5 23 x 30 (loại) x 1 Vậy vậ n tốc dự đị2nhy củ 1a hai 7 bố con bạn là km/h. 2) Tìm chiều dài của dây kéo cờ, biết bĩng của cột cờ (chiếu bởi ánh sáng mặt trời) dài 6m và gĩc nhìn mặt x2 2 m 5 x 2 m 9 0 trời là Đánh dấu các điểm như hình vẽ.m Chi 10ều dài của dây kéo cờ là độ dài đoạn AB . B Ta cĩ: AB ACtan C 6.tan 60  6 3 10,4(m ) xx12; xx12 20 Vậy chiều dài dây kéo cờ là 10,4m. Bài 3 (2,5 điểm) 1) Giải hệ phương trình . 60° 6m C A . 2) Cho phương trình a) Giải phương trình với . b) Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện . Hướng dẫn
17. 1) Giải hệ phương trình . x 1 Điều kiện: 1 . y 2 14 14 24 24 2xx 1 10A 2 1 10 2y 1 7 2yy 1 2 1 2y 1 7 5 23 5 23 10 46 5 23 x 1 xx 1 2 1 x 1 2y 1 7 2yy 1 7 2 1 7 2y 1 7 y 3 y 3 y 3 5 23 (thỏa mãn điều kiện). x 1 x 14 x 17 77 Vậy hệ phương trình cĩ nghiệm xy; 17; 3 . 2) Cho phương trình x2 2 m 5 x 2 m 9 0 1 . a) Khi phương trình trở thành: xx2 30 29 0. c Ta cĩ a 1; b 30; c 29 . Vì abc 0 nên phương trình cĩ nghiệm xx 1; 29. a b) Phương trình 1 cĩ hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0 mm 5 2 2 9 0 m2 8 m 16 0 m 4 2 0 m 4. x12 x 2 m 10 Theo hệ thức Vi-et ta cĩ . x12. x 2 m 9 14 2 Ta cĩ x 2 x 0 x 2 x x 4 x (với x 0 ) 12x 1 2 1 10 2 1 2 1 21y 1 2 x x 2 m 10 5 23 11 1x 2 1 4 113 xx21 thay2 yvào 1 hệ th 7 ức Vi-et ta được : x1 x 1 x 1 1 4 1 44 xm3 2 9 2 4 1 m 10 xL1 2( ) 13 x x x 1 0 x 2( N ) xx12; 441 1 1 1 ABC O AD,, BE CF xN1 1( ) H . AEHF, BCEF 35 m x1 2 8 Thay vào AM2 ta đượ cO (thỏa BHCMmãn điều kiện). AB.. AC AD AM x1 1 7 BC m BE 2 I CF J IJ Bài 4: (3,0 điểm). Cho cĩ ba gĩc nhọn nội tiếp đường trịn tâm . Các đường cao cắt nhau tại . a) Chứng minh là các tứ giác nội tiếp. b) Kẻ đường kính của . Chứng minh là hình bình hành và c) Cho cố định, di động trên cung lớn sao cho cĩ ba gĩc nhọn, cắt tại , cắt tại . Chứng minh rằng đoạn cĩ độ dài khơng đổi. Website: tailieumontoan.com
18. Hướng dẫn A I P E J F O H B D K C M a) Xét cĩ ba đường cao nên BE AC ; CF AB ; AD BC Xét tứ giác AEHF cĩ AEH AFH 900 90 0 180 0 mà hai gĩc này ở vị trí đối nhau nên suy ra tứ giác nội tiếp. Xét tứ giác BFEC cĩ BFC 9000 ; BEC 90 khi đĩ ta cĩ hai đỉnh kề EF, cùng nhìn cạnh dưới cùng gĩc 900 nên suy ra tứ giác nội tiếp. b) Xét đường trịn cĩ đường kính nên ABM ACM 900 (gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn). Ta cĩ: AB BM;// AB  CF BM CF hay BM// CH Ta cĩ: AC CM;// AC  BE CM BE hay BH// CM Từ đĩ suy ra tứ giác là hình bình hành. 1 Xét đường trịn cĩ ABD AMC sđ AC (hai gĩc nội tiếp cùng chắn cung AC ) 2 Xét BDA và MCA cĩ ABD AMC; ADB ACM 900 suy ra ∽ gg. AB AM Suy ra: AB.. AC AD AM . AD AC c) Gọi K là trung ABC điểm của mà tứ giác là hình bìnhO hành nên suy ra AD là,, BE trung CF điểm của HM Xét AHM cĩ là trung điểm và là trung điểm của nên suy ra OK là đường trung bình của nên AH 2 OK . Vì và dây cố định nên OH, cố định suy ra OH khơng AM O BHCM đổi, từ đĩ suy ra AH cũng khơng đổi. BC Xét đường trịn cĩ hai dây cung BM và JC song song với nhau nên JB CM suy ra JM BC ; hai dây cung BI và CM song song với nhau nên BM CI suy ra MI BC . Từ đĩ suy ra: MI JM 1 1 Xét đường trịn cĩ JAM sđ JM (gĩc nội tiếp chắn cung ); IAM sđ IM (gĩc nội 2 2 tiếp chắn cung ) mà nên suy ra JAM IAM Ngồi ra vì mà sđ BC khơng đổi nên sđ khơng đổi hay JAM khơng đổi
19. 1 Xét đường trịn cĩ JAB JCB sđ JB (hai gĩc nội tiếp cùng chắn cung ) mà 2 BAD JCB (cùng phụ ABC ) suy ra JAB DAB . Xét AJH cĩ AF vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên suy ra cân tại nên AJ AH 1 Xét đường trịn cĩ IAC IBC sđ IC (hai gĩc nội tiếp cùng chắn cung ) mà 2 IBC DAC (cùng phụ ACB ) suy ra IAC DAC . Xét AIH cĩ AE vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên suy ra cân tại nên AI AH A Vậy suy ra AI AJ AH nên AIJ cân tại ; ngồi ra ta cĩ khơng đổi nên AI, AJ khơng đổi. Xét cân tại cĩ là đường phân giác nên đồng thời là đường cao, đường trung tuyến từ đĩ suy ra AM IJ tại P ( là giao điểm của và ) và IJ 2 JP JP Xét APJ vuơng tại cĩ sin JAP mà khơng đổi và AJ khơng đổi nên suy ra PJ AJ khơng đổi hay khơng đổi. Bài 5: (0,5 điểm) Cho a,b là các số thực làm cho phương trình ẩn x sau cĩ nghiệm: Chứng minh rằng: Hướng dẫn Ta cĩ: ' 2a b 2 5 a2 4 ab 2 b2 1 ' 4a 2 4 ab b2 5 a 2 4 ab 2 b2 1 ' ab 2 2 1 Để phương trình ẩn x cĩ nghiệm ' 01 ab2 2 ab,  1;1 . Với ab,  1;1  thì a2020 a 2; b 2021 b 2 a2020 b 2021 a 2 b 2 12 a 2020 b 2021 ---HẾT--- AM O AH IJ x2 2 2 a b x 5 a2 4 ab 2 b2 1 0 ab2020 2021 2 JAM
20. TRƯỜNG THCS MẠC ĐĨNH CHI ĐỀ KHẢO SÁT LỚP 9 NĂM HỌC 2020 - 2021 TRƯỜNG THCS PHAN CHU TRINH Mơn: TỐN Thời gian làm bài 120 phút x 3 x2x 24 Bài I (2,0 điểm): Cho hai biểu thức A và B với x 0,x 9 . x 8 x 3 x 9 1) Tính giá trị của A khi x 4 . 2) Rút gọn biểu thức B . 3) Tìm x để AB 2 . Bài II (2,0 điểm): 1) Giải bài tốn bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Trong tháng 2 tổng số tiền điện và nước của nhà ơng Khánh phải trả là 600 nghìn đồng. Sang tháng 3 ơng Khánh thay hệ thống đèn chiếu sáng cũ bằng hệ thống đèn LED tiết kiệm điện nên số tiền điện trong tháng 3 của gia đình ơng giảm 15% so với tháng 2. Nhưng số tiền nước trong tháng 3 lại tăng 5% so với tháng 2 nên tổng số tiền điện và nước phải trả trong tháng 3 của gia đình ơng Khánh là 534 nghìn đồng. Hỏi trong tháng 2 gia đình nhà ơng Khánh phải trả bao nhiêu tiền điện và bao nhiêu tiền nước? 2) Chân một đống cát đổ trên một nền phẳng nằm ngang là một hình trịn cĩ chu vi 12m. Hỏi chân đống cát đĩ chiếm một diện tích là bao nhiêu mét vuơng? Bài III (2,5 điểm): 2 3y 5 x 1) Giải hệ phương trình: 3 y 2 x 2) Cho phương trình: x2 mx m 2 0 ( x là ẩn). a) Tìm m để phương trình cĩ một nghiệm là 1 và tìm nghiệm cịn lại. b) Chứng minh rằng phương trình luơn cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m . 22 Tìm m để xx12 x 2 x 1 1 Bài IV (3,0 điểm): Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB . Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường trịn cĩ bờ là đường thẳng AB , kẻ tia Ax vuơng gĩc với AB . Từ điểm M trên Ax ( M khác A ) kẻ tiếp tuyến MC với nửa đường trịn (C là tiếp điểm). Đoạn thẳng AC cắt OM tại E , MB cắt nửa đường trịn tại D ( D khác B ) 1) Chứng minh AMCO là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh MO vuơng gĩc với AC và gĩc MED bằng gĩc MBA. 3) Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của C trên AB , I là giao điểm của MB và CH . Chứng minh rằng đường thẳng EI vuơng gĩc với AM . Bài V (0,5 điểm): Giải phương trình: 2 x 2313 x x2 7x 3. ---HẾT---