Chuyên đề Hệ thức lượng giác trong tam giác vuông Toán 9

Nội dung tài liệu: Chuyên đề Hệ thức lượng giác trong tam giác vuông Toán 9

1. Chủ đề: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG A - Lý thuyết hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Chủ đề 1: Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Cho ΔABC, góc A = 900, AH ⊥ BC, AB = c, AC = b, BC = a, AH = h thì: + BH = c' được gọi là hình chiếu của AB xuống BC + CH = b' được gọi là hình chiếu của AC xuống BC 1) AB2 = BH.BC hay c2 = a.c' AC2 = CH.BC hay b2 = a.b' 2) AH2 = CH.BH hay h2 = b'.c' 3) AB.AC = AH.BC hay b.c = a.h 5) AB2 + AC2 = BC2 hay b2 + c2 = a2 (Định lý Pytago)
2. Chủ đề 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn 1. Các hệ thức Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng: a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos góc kề b) Cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc cot góc kề b = a.sinB = a.cosC c = a.sinC = a.cosB b = c.tanB = c.cotC
3. c = b.tanB = b.cotC 2. Định lí Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia. 3. Một số hệ thức cơ bản B – Bài tập vận dụng Bài 1: Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. a) Biết AH = 12cm, CH = 5cm. Tính AC, AB, BC, BH. b) Biết AB = 30cm, AH = 24cm. Tính AC, CH, BC, BH. c) Biết AC = 20cm, CH = 16cm. Tính AB, AH, BC, BH. d) Biết AB = 6cm, BC = 10cm. Tính AC, AH, BH, CH. e) Biết BH = 9cm, CH = 16cm. Tính AC, AB, BC, AH. Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có góc B = 60°, BC = 20cm. a) Tính AB, AC b) Kẻ đường cao AH của tam giác. Tính AH, HB, HC. Bài 3.: Giải tam giác ABC vuông tại A, biết: a) AB = 6cm, góc B = 40° b) AB = 10cm, góc C = 35° c) BC = 20cm, góc B = 58° d) BC = 82cm, góc C = 45° e) BC = 32cm, AC = 20cm f) AB = 18cm, AC = 21cm Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn. Đường cao AH . Gọi E , F lần lượt là hình chiếu của H trên AB , AC a) Chứng minh: AF . AB = AE . AC b) Chứng minh: Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC Bài 5: Cho ÄABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M ,N lần lượt là hỡnh chiếu của H trờn AB , AC.
4. a) Chứng minh: AM . AB = AN. AC b) Chứng minh: AH3 = AM .AN . BC Bài 6: Cho hình thang ABCD có Aµ Dµ 900 , Cµ 500 . Biết AB = 2, AD = 1,2. Tính diện tích hình thang ABCD. A 2 B Giải: Vẽ BH  CD ta có ABHD là hình chữ nhật 1,2 nên BH = AD = 1,2, DH = AB = 2. 50° Xét tam giác vuông HBC, Hµ 900 , ta có: D H C HC = HB .cotC = 1,2 .cot 500 1,0. CD = CH + HD 1 + 2 = 3 AB CD AD 2 3 .1,2 Diện tích hình thang ABCD là: S 3 (đvdt) 2 2 Chú ý: Việc kẻ BH  CD là để tạo ra một tam giác vuông biết độ dài một cạnh và biết số đo một góc, từ đó tính được độ dài CH và CD, do đó tính được diện tích hình thang. Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết BC = a và Bµ  . Hãy tính AH, BH và CH theo a và  . Giải: A Tam giác ABC vuông tại A (GT) nên AB = a cos  , AC = a sin  . Tam giác ABH vuông tại H ta có b AH = AB. sinB = a cos  . sin  B H C a BH = AB. Cos B = a cos  . cos  = a cos 2  CH = AC. cosC = AC .sinB = a sin  . sin  = a sin2  . Bài 8: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 3,5. Tính diện tích tam giác ABC trong hai trường hợp: C µ 0 a) A = 40 ; 3,5 b) Aµ = 1400. 40° H A B Giải: 4 a) Vẽ đường cao CH, ta có Aµ = 400 ( Aµ nhọn) thì C 3,5 140° H A B 4
5. H và B nằm cùng phía đối với A. Xét tam giác HAC vuông tại H, ta có CH = AC. sinHAC = 3,5 .sin 400 2,2 Diện tích của tam giác ABC là: 1 1 S AB.CH .4.2,2 4,4 (đvdt). 2 2 b) Trường hợp Aµ = 1400 Vẽ đường cao CH, ta có Aµ = 1400 ( Aµ tù) thì H và B nằm khác phía đối với A. Xét tam giác HAC vuông tại H, ta có CH = AC. sinHAC = 3,5 .sin 400 2,2 1 1 Diện tích của tam giác ABC là: S AB.CH .4.2,2 4,4 (đvdt). 2 2 Lưu ý: Một cách tổng quát, ta chứng minh được rằng: Diện tích tam giác bằng nửa tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh đó. 1 1 1 S ab.sin C bc.sin A ac.sin B 2 2 2 Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A, Bµ 650 , đường cao CH = 3,6. Hãy giải tam giác ABC. Giải: Tam giác ABC cân tại A nên Cµ Bµ 650 ,Aµ 1800 1300 500 . Xét tam giác vuông HBC vuông tại H có: A CH 3,6 BC 4,0 sin B sin 650 H Vẽ AD  BC khi đó DB = DC = 2,0. Xét tam giác ABD vuông tại D, có B D C
6. BD 2 AB = 4,7 cos B cos650 Do đó AC 4,7. Chú ý: Việc vẽ thêm đường cao AD là để tạo ra một tam giác vuông biết một cạnh góc vuông và một góc nhọn, từ đó sẽ tính được cạnh huyền AB, AC. Bài 10: Vì kèo của một mái nhà có dạng tam giác cân (hình vẽ). Biết đáy BC = 4,2 m, chiều cao AH = 1,7 m. Hãy tính: A a) Độ dốc của mái nhà. D E b) Độ dài của các thanh đỡ HD, HE. Giải: a B H C a) AH là đường cao ứng với cạnh đáy của tam giác cân ABC nên: HB = HC = 4,2 : 2 = 2,1 (m) AH 1,7 Xét tam giác ABH vuông tại H có tan = = 0,8095 400. BH 2,1 b) Xét tam giác DBH vuông tại H có HD = HB. Sin B 2,1. 0,643 1,3 (m) Suy ra HE 1,3 (m). Bài 11: Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Biết A· OD = 700; AC = 5,3 cm; BD = 4,0 cm. Tính diện tích tứ giác ABCD. Tìm hướng giải: Diện tích tứ giác ABCD bằng tổng diện tích của các tam giác ABC và ADC. Đã biết AC, cần biết thêm chiều cao tương ứng với AC. Do đó cần vẽ DK  AC, DK  AC Giải: Vẽ BH  AC, DK  AC. Xét tam giác HOB vuông tại H ta có BH = OB sinO2 B A Xét tam giác KOD vuông tại K ta có DK = OD sin O1 K 1 2 µ µ O Mà O1 O2 (đối đỉnh) H 1 SABCD = SABC + SADC = AC (BH + DK) 2 D C 1 1 = AC(OB + OD) sin O1 = AC.BD sin O1 2 2
7. 1 1 = .5,3 . 4. sin 700 . 5,3 . 4 . 0,9397 10,0 (cm2). 2 2 Nhận xét: Nếu tứ giác có độ dài hai đường chéo là m và n, góc nhọn xen giữa hai đường chéo 1 là thì diện tích của tứ giác là : S = .m.n .sin . 2 Bài 12: Cho tam giác nhọn ABC, Bµ Cµ , đường cao AH và đường trung tuyến AM. a) Chứng minh rằng HC - HB = 2 HM. cot C cot B b) Gọi là góc tạo bởi đường cao và trung tuyến. Chứng minh rằng: tan 2 Giải: A a) Ta có HC – HB = (HM + MC) – (MB – HM) = 2HM. a c) Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có HC = AH.cotC Xét tam giác AHB vuông tại H, ta có HB = AH.cotB HC – HB = AH(cot C – cotB) B H M C hay 2HM = AH(cot C – cotB) (1) Xét tam giác vuông AHM vuông tại H ta có: HM = AH. tan 2HM = 2AH. tan (2) cot C cot B Từ (1) và (2) AH(cot C – cotB) = 2AH. tan hay tan = 2 Bài 13: Trên một khúc sông với 2 bờ song song với nhau, có một chiếc thuyền dự định chèo qua sông từ vị trí A ở bở bên này sang vị trí B ở bờ bên kia, đường thẳng AB vuông góc với các bờ sông. Do bị dòng nước đẩy xiên nên chiếc thuyền đã cập bờ bên kia tại vị tri C cách B một khoảng bằng 30 m. Biết khúc sông rộng 150 m. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc có số đo bằng bao nhiêu so với AB? (kết quả làm tròn đến phút). IV. Hướng dẫn HS tự học ở nhà: - Học thuộc các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, nắm chắc phương pháp giải tam giác. - Xem kĩ các bài tập trong buổi học, tham khảo các ví dụ trong các tài liệu nâng cao. - Bài tập về nhà: Cho tam giác nhọn ABC, Aµ 750 , AB = 30 mm, BC = 35 mm, hãy giải tam giác ABC.