Chuyên đề Tức giác nội tiếp Toán 9

Nội dung tài liệu: Chuyên đề Tức giác nội tiếp Toán 9

1. Hình hoc: TỨ GIÁC NỘI TIẾP A – Lý thuyết A Tứ giác nội tiếp O B D C Định lí : Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 1800. Định lý đảo : Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy B – Bài tập: Bài 1 : Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Dây CD vuông góc với AB tại E (E nằm giữa A và O; E không trùng A, không trùng O). Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC sao cho cung MB nhỏ hơn cung MC. Dây AM cắt CD tại F. Tia BM cắt đường thẳng CD tại K. a) Chứng minh tứ giác BMFE nội tiếp b) Chứng minh BF vuông góc với AK vàEK.EF EA.EB c) Tiếp tuyến của (O) tại M cắt tia KD tại I. Chứng minh IK = IF. Bài 2 : Cho đường tròn (O;R) . Từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B,C là hai tiếp điểm). Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt O tại D (D khác B ), đường thẳng AD cắt O tại E ( E khác D ). a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp. b) Chứng minh: AE.AD = AB2 c) Chứng minh Bài 3: Cho đường tròn (O;R) . Từ điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn ( A,B là hai tiếp điểm).Qua M vẽ một đường thẳng cắt đường tròn (O) tại hai điểm D , E phân biệt (D nằm giữa M và E). Gọi H là giao điểm của AB và MO a) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp b) Chứng minh: AM2 = MD . ME = MH . MO
2. Bài 4: Cho đường tròn (O,R) và một điểm S ở ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến SA, SB ( A, B là các tiếp điểm). Vẽ đường thẳng a đi qua S và cắt đường tròn (O) tại M và N, với M nằm giữa S và N (đường thẳng a không đi qua tâm O). a) Chứng minh: SO  AB b) Gọi H là giao điểm của SO và AB; gọi I là trung điểm của MN. Hai đường thẳng OI và AB cắt nhau tại E. Chứng minh rằng IHSE là tứ giác nội tiếp đường tròn. c) Chứng minh OI.OE = R2. Bài 5: Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (tiếp điểm A; B) và cát tuyến cắt đường tròn tại 2 điểm C và D không đi qua O. Gọi I là trung điểm của CD. a) Chừng minh : Năm điểm M, A, I, O, B cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh IM là phân giác của góc AIB Bài 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R). Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh: AEHF và BCEF là các tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Gọi M và N thứ tự là giao điểm thứ hai của đường tròn (O;R) với BE và CF. Chứng minh: MN // EF. c) Chứng minh rằng OA  EF. Bài 7: Cho đường tròn (O) có đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A ,B ). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại điểm F. 1) Chứng minh rằng FCDE là tứ giác nội tiếp đường tròn. 2) Chứng minh rằng DA.DE = DB.DC. 3) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE. Chứng minh rằng IC là tiếp tuyến của đường tròn (O) . Bài 8 . Cho nửa đường tròn tâm O đường kính MN. Vẽ các tiếp tuyến Mx, Ny của nửa đường tròn. Lấy điểm E thuộc nửa đường tròn (E M, E N). Vẽ tiếp tuyến với nửa (O) cắt Mx tại I, Ny tại K. a) Chứng minh các tứ giác MIEO và NKEO nội tiếp được đường tròn. b) IO cắt EM tại P, EN cắt OK tại Q. Chứng minh tứ giác POQE là hình chữ nhật. c) Chứng minh : MI.NK = MO.NO. Bài 9: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B). a) Chứng minh: AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh A· DE A· CO . c) Vẽ CH vuông góc với AB (H AB). Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm của CH.
3. Bài 10: Cho nửa đường tròn O đường kính AB . Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn tại A. Từ điểm C trên tia Ax , kẻ tiếp tuyến thứ hai với nửa đường tròn tại D . Nối C với B cắt nửa đường tròn tại F và CO cắt AD tại E 1) Chứng minh rằng tứ giác ACFE nội tiếp. 2) Chứng minh: CF . CB = CE . CO. Bài 11 : Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O;R),vẽ hai tiếp tuyến SA , SB với (O) và cát tuyến SCD ( C nằm giữa S, D và tia SD nằm trong góc ASO) a) Chứng minh: Tứ giác SAOB nội tiếp b) Chứng minh: SA2 = SD . SC c) Gọi H là giao điểm của AB và OS. Chứng minh: SO vuông góc với AB d) Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh:Bốn điểm S, I , O , B nội tiếp đường tròn và ∆IAC đồng dạng ∆ICB Bài 12: Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB. 1) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn. 2) Chứng minh: MN2 = NF.NA vả MN = NH. Bài 13: Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (M,N là các tiếp điểm). Đường thẳng AO cắt cắt MN tại H.Vẽ đường kính NC của (O) AC cắt (O) tại B ( B khác C) 1) Chứng minh: Tứ giác AMON nội tiếp đường tròn. 2) MB cắt AO tại D.Chứng minh: Tứ giác ABHN nội tiếp vả AD = DH. Bài 14: Cho đựờng tròn tâm O, một điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M kẻ đường thẳng đi qua tâm O, cắt đường tròn tại hai điểm A,B (A nằm giữa M và B). Kẻ đường thẳng thứ hai đi qua M, cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt C, D (C nằm giữa M và D, C khác A). Đường thẳng vuông góc với MA tại M cắt đường thẳng BC tại N, đường thẳng NA cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E. a. Chứng minh tứ giác AMNC là tứ giác nội tiếp. b. Chứng minh DE vuông góc với MB. Bài 15: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M, vẽ MI AB, MK  AC (I AB,K AC) a) Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Vẽ MP  BC (P BC). Chứng minh: M· PK M· BC . c) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.
4. Bài 16: Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E. Lấy I thuộc cạnh AB, · M thuộc cạnh BC sao cho: IEM 900 (I và M không trùng với các đỉnh của hình vuông ). a) Chứng minh rằng BIEM là tứ giác nội tiếp đường tròn. · b) Tính số đo của góc IME c) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC; K là giao điểm của BN và tia EM. Chứng minh CK  BN. Bài 17: Cho đường tròn (O;R); AB và CD là hai đường kính khác nhau của đường tròn. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O;R) cắt các đường thẳng AC, AD thứ tự tại E và F. a) Chứng minh tứ giác ACBD là hình chữ nhật. b) Chứng minh ∆ACD ~ ∆CBE c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn. d) Gọi S, S1, S2 thứ tự là diện tích của ∆AEF, ∆BCE và ∆BDF. Chứng minh: S1 S2 S . Bài 18 : Cho tam giác ABC vuông tại A, M là một điểm thuộc cạnh AC (M khác A và C ). Đường tròn đường kính MC cắt BC tại N và cắt tia BM tại I. Chứng minh rằng: a) ABNM và ABCI là các tứ giác nội tiếp đường tròn. b) NM là tia phân giác của góc A· NI . c) BM.BI + CM.CA = AB2 + AC2. Bài 19: Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB (CD không đi qua tâm O). Trên tia đối của tia BA lấy điểm S; SC cắt (O; R) tại điểm thứ hai là M. a) Chứng minh ∆SMA đồng dạng với ∆SBC. b) Gọi H là giao điểm của MA và BC; K là giao điểm của MD và AB. Chứng minh BMHK là tứ giác nội tiếp và HK // CD. c) Chứng minh: OK.OS = R2. Bài 20: Cho hai đường tròn (O) và (O ) cắt nhau tại A và B. Vẽ AC, AD thứ tự là đường kính của hai đường tròn (O) và (O ) . a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng. b) Đường thẳng AC cắt đường tròn(O ) tại E; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại F (E, F khác A). Chứng minh 4 điểm C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn. c) Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A cắt (O) và (O ) thứ tự tại M và N. Xác định vị trí của d để CM + DN đạt giá trị lớn nhất.