SKKN Một số kinh nghiệm trong việc dạy ôn thi vào lớp 10 THPT với dạng toán “Phương trình bậc hai - Lê Đặng Trung

Nội dung tài liệu: SKKN Một số kinh nghiệm trong việc dạy ôn thi vào lớp 10 THPT với dạng toán “Phương trình bậc hai - Lê Đặng Trung

1. Sáng kiến kinh nghiệm: Một số kinh nghiệm trong việc dạy ôn thi vào lớp 10 THPT với dạng toán “Phương trình bậc hai”. I. Đặt vấn đề: 1. Lí do chọn đề tài: Dạng toán “Phương trình bậc hai một ẩn” hay gọi đầy đủ là “Phương trình bậc hai một ẩn” là một trong những dạng toán trọng tâm trong chương trình toán 9. Chính vì vậy đề thi vào lớp 10 THPT hằng năm của hầu hết các địa phương trong cả nước đều có bài toán về phương trình bậc hai và chiếm tỉ lệ điểm khá cao trong đề thi. Đối với dạng toán Phương trình bậc hai một ẩn thì hiện tại đa số học sinh chỉ giải quyết được những dạng toán vận dụng thấp như giải phương trình, tìm điều kiện để phương trình có nghiệm,...còn đối với những dạng toán vận dụng cao hoặc các bài toán phức tạp thì các em còn gặp không ít khó khăn; đặc biệt là đối với đề thi vào lớp 10 THPT của tỉnh nhà trong những năm gần đây. Để học sinh đạt kết quả tốt trong việc ôn thi môn Toán nói chung và ôn thi chuyên đề về phương trình bậc hai một ẩn nói riêng, ngoài việc người giáo viên nhiệt tình, tâm huyết, có chuyên môn vững thì phải có phương pháp và biết cách phân loại các dạng toán. Qua kết quả thi vào lớp 10 THPT của lớp do tôi phụ trách trong các năm qua khá cao so với mặt bằng chung của toàn trường cũng như của toàn huyện, đặc biệt là môn Toán; với sự tích lũy qua nhiều năm dạy học tôi mạnh dạn đưa ra kinh nghiệm nhỏ trong việc dạy ôn thi với dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn đó là: “Một số kinh nghiệm trong việc dạy ôn thi vào lớp 10 THPT với dạng toán Phương trình bậc hai”. 2. Mục tiêu nghiên cứu: - Phân dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn. - Trang bị cho học sinh về phương phương pháp giải các dạng toán. - Giúp học sinh có kiến thức vững vàng và có kết quả cao trong các kì thi. - Xây dựng tài liệu ôn thi cho học sinh về dạng toán phương trình bậc hai một ẩn. 3. Đối tượng nghiên cứu: - Dạng toán về phương trình bậc hai. - Học sinh lớp 9. 1
2. 4. Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu khả năng làm bài tập toán dạng phương trình bậc hai một ẩn của học sinh lớp 9 của đơn vị. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu: Phân dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn. Đưa ra phương pháp giải ở mỗi dạng. Nghiên cứu học sinh từ ý thức học tập, tư duy, suy luận, diễn giải, cách trình bày bài đến kết quả học tập. 6. Giả thiết khoa học: Trong dạy học môn Toán, nếu người giáo viên biết cách phân loại các dạng bài tập thì sẽ đem lại hiệu quả cao trong giảng dạy. 7. Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu đề tài này tôi đã sử dụng các biện pháp sau: - Phương pháp điều tra. - Phương pháp thực tiễn. - Phương pháp thống kê, tổng hợp. - Phương pháp nghe, nhìn. - Phương pháp thực nghiệm. - Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa, các tài liệu liên quan. - Phương pháp tổng kết đúc rút kinh nghiệm. 8. Dự báo những đóng góp mới của đề tài: Sau khi nghiên cứu, tôi đã áp dụng đề tài trong một vài năm trở lại đây và đã mang lại hiệu quả cao. Tôi thiết nghĩ, đề tài này sẽ được nhiều giáo viên và các nhà quản lý quan tâm, mở rộng, phát triển và đem vào áp dụng rộng rãi trong việc dạy học cũng như việc dạy ôn thi cho học sinh lớp 9. II. Giải quyết vấn đề: 1. Cơ sở khoa học. 1.1. Cơ sở lí luận: Để giả quyết vấn đề trên chúng ta cần có những kiến thức sau: - Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn: 2
3. Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó x là ẩn; a, b, c là các số cho trước gọi là hệ số và a 0. - Công thức nghiệm: Phương trình ax2 + bx + c = 0 với a 0 Ta có: b2 4ac b b Nếu 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x ; x 1 2a 2 2a b Nếu 0 thì phương trình có nghiệm kép: x x 1 2 2a Nếu 0 thì phương trình vô nghiệm. - Công thức nghiệm thu gọn: b Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) với b’ = 2 Ta có: ' b'2 ac Nếu ' 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: b' ' b' ' x ; x . 1 a 2 a b' Nếu ' 0 thì phương trình có nghiệm kép: x x . 1 2 a Nếu ' 0 thì phương trình vô nghiệm. - Hệ thức Vi-ét: 2 Định lý: Nếu x1; x2 là 2 nghiệm của pt ax bx c 0, a 0 b x x 1 2 a thì c x .x 1 2 a 1.2. Cơ sở thực tiễn: Để tiến hành dạy ôn thi dạng toán “Phương trình bậc hai một ẩn” cần chú ý những vấn đề sau: - Cung cấp kiến thức cho học sinh: Thực chất là ôn tập, nhắc lại những kiến thức như: Định nghĩa, công thức nghiệm, ... 3
4. - Phân dạng toán: Đây là công việc quan trong nhất và nó quyết định hiệu quả của việc dạy học. - Luyện giải các dạng toán: Cùng với việc phân dạng toán thì đây cũng là bước quan trọng. Các em cần được luyện giải nhiều và thường xuyên. - Luyện đề: Học sinh cần được luyện đề, đặc biệt là đề thi vào lớp 10 THPT của tỉnh nhà trong những năm gần đây và tham khảo một số đề ở các tình khác có dạng toán tương tự. 2. Đánh giá thực trạng: 2.1. Các số liệu điều tra: Dạng toán “Phương trình bậc hai một ẩn” là một trong những nội dung trọng tâm trong chương trình toán 9. Chính vì vậy, người giáo viên cần có phương pháp giảng dạy phù hợp: phải khích lệ được học sinh ham học toán, phải phân dạng toán trong quá trình giảng dạy. Thực tế hiện tại các em còn gặp rất nhiều khó khăn trước dạng toán này đặc biệt là trong đề thi vào lớp 10 THPT của rất nhiều năm trở lại đây. Để chứng tỏ điều đó, tôi đã tiến hành điều tra học sinh lớp 9B khi chưa áp dụng đề tài với bài toán sau: Bài toán: Cho phương trình: x2 – 2(m +1)x + m2 = 0 (m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn (2x1 + 1)(2x2 + 1) = 13 (Trích câu 2b, MĐ 01đề thi vào lớp 10 THPT năm học 2017 – 2018 của SGD&ĐT Hà Tĩnh) Kết quả thu được như sau: Tìm điều Viết được Biến đổi được Tìm được Số Không kiện để hệ thức biểu thức giá trị Lớp học làm được có Vi-ét (2x1 + 1)(2x2 + 1) = 13 của m sinh nghiệm SL % SL % SL % SL % SL % 9B 33 26 79 5 15 7 21 3 9 2 6 4
5. Qua kết quả trên cho chúng ta thấy, đa số học sinh chưa nắm vững kiến thức về dạng toán này; rất nhiều em đã bỏ qua việc tìm điều kiện để phương trình có nghiệm; nội dung mà nhiều học sinh làm được đó là viết được hệ thức Vi-ét; việc biến đổi biểu thức về nghiệm ở đề bài cũng như việc hoàn thành bài toán chiếm tỉ lệ rất thấp. Điều đó chứng tỏ dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn là dạng toán mà các em gặp không ít khó khăn trong quá trình học tập. 2.2. Đánh giá hiện trạng: 2.2.1. Ưu điểm: Tuy đơn vị được đóng trên địa bàn rộng, dân cư khá đông, hằng năm thường gánh chịu khá nhiều thiên tai bão lũ nhưng học sinh rất hiếu học; đội ngũ thầy cô giáo có nhiều kinh nghiệm, nhiệt tình hăng say với công việc. Trong quá trình dạy học, đặc biệt là việc dạy ôn tập môn Toán cho học sinh lớp 9 ngoài việc miệt mài, hăng say giảng dạy đã có phương pháp giảng dạy hợp lý. Căn cứ vào chuẩn kiến thức kỹ năng, vào kiến thức trong mỗi bài, mỗi chương, vào hệ thống bài tập trong sách giáo khoa. Tôi đã phân loại kiến thức, dạng bài tập và đưa phương pháp giải ở mỗi dạng, hệ thống bài tập tương ứng. Đề tài đã được tập thể giáo viên ghi nhận, đã được tổ chuyên môn triển khai thành một chuyên đề ở buổi sinh hoạt chuyên môn. Một số giáo viên đã áp dụng hoặc sữ dụng ý tưởng thực hiện trong giảng dạy. Chất lượng học sinh ngày một nâng cao thể hiện qua các bài kiểm tra định kỳ, bài khảo sát chất lượng. Đây là dạng toán chưa đến mức độ khó, học sinh cũng thích học dạng toán này. 2.2.2. Tồn tại: Tuy đề tài đã được khẳng định tại đơn vị và đã được đưa vào áp dụng nhưng bên cạnh đó còn có một số mặt hạn chế, cụ thể: - Một số giáo viên chưa hăng say, nhiệt tình với công việc; phương pháp dạy học chưa phù hợp với đối tượng học sinh. - Địa bàn dân cư rộng (gồm 2 xã) gây khó khăn cho học sinh trong việc đến trường, bên cạnh đó trình độ dân trí chưa cao cũng ảnh hưởng không nhỏ đến việc nâng cao chất lượng giáo dục. 5
6. - Đã khá lâu chưa có buổi sinh hoạt chuyên môn liên trường nên chưa có cơ hội giới thiệu đề tài và hiệu quả của nó mang lại cho các bạn đồng nghiệp trường bạn . - Đặc biệt tài liệu của học sinh còn hạn chế, cơ bản chỉ có sách giáo khoa còn sách bài tập và tài liệu tham khảo thì rất ít. 3. Các giải pháp: Sau đây tôi xin đưa ra một số kinh nghiệm trong việc dạy ôn thi vào lớp 10 THPT với dạng toán “Phương trình bậc hai một ẩn”. Dạng toán 1: Giải phương trình: Loại 1: Giải phương trình không chứa tham số. Các phương pháp giải phương trình: - Phương pháp đại số. - Dùng công thức nghiệm. - Dùng công thức nghiệm thu gọn. - Phương pháp đồ thị. - Phương pháp nhẩm nghiệm. Một số chú ý: + Trước khi tiến hành giải phương trình cần cho học sinh xác định các hệ số a, b, c của phương trình. + Đối với học sinh yếu và trung bình chỉ nên giới thiệu cho các em một phương pháp giải đó là sử dụng công thức nghiệm. Ví dụ: Giải phương trình: x2 + 2x – 3 = 0. Cách 1: Dùng phương pháp đại số. x2 + 2x – 3 = 0 x2 – x + 3x -3 = 0 x(x - 1) + 3(x - 1) (x - 1)(x + 3) = 0 x 1 0 x 1 x 3 0 x 3 Cách 2: Dùng công thức nghiệm: Ta có: b2 4ac = 22 – 4.1.(-3) = 16 > 0 Do > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: 6
7. b 2 16 b 2 16 x 1; x 3 1 2a 2.1 2 2a 2.1 Cách 3: Dùng công thức nghiệm thu gọn: Ta có: ' b'2 ac = 12 – 1.(-3) = 4 > 0 Do ' > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: b' ' 1 4 b' ' 1 4 x 1; x 3 1 a 1 2 a 1 Cách 4: Dùng phương pháp đồ thị. Nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm hai đồ thị của hai hàm số y = x2 và y = - 2x + 3 Đồ thị của hai hàm số y = x2 và y = - 2x + 3 cắt nhau tại hai điểm có hành độ lần 2 lượt là x1 = 1, x2 = -3. Thay x1 = 1, x2 = -3 vào phương trình x + 2x – 3 = 0 ta thấy thỏa mãn. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x1 = 1, x2 = -3. Cách 5: Nhẩm nghiệm. Phương trình có dạng a + b + c = 1 + 2 + (-3) = 0, nên phương trình có nghiệm x1 c 3 = 1 và x 3 . 2 a 1 7
8. Loại 2: Giải phương trình chứa tham số. Phương pháp giải: - Thay giá trị tham số vào phương trình đã cho. - Biến đổi phương trình về dạng cơ bản. - Giải phương trình như loại 1. Chú ý: Đối với loại toán này cần phải thay giá trị của tham số và tính đúng phương trình. Ví dụ: Cho phương trình: x2 – 2x + m - 1 = 0 (với m là tham số) (2) Giải phương trình (2) với m = 2. Giải: Thay m = 2 vào phương trình (2), ta có phương trình: x2 – 2x + 2 - 1 = 0 x2 – 2x + 1 = 0 (x - 1)2 = 0 x = 1 Một số bài tập đề nghị: Bài tập 1: Giải các phương trình sau: a, x2 5x 6 0. b, 3x2 5x 7 0. c, 3x2 12x 15 0. HD: Nên chia cả hai vế của phương trình cho (-3) để đưa phương trình có hệ số a dương và các hệ số có giá trị nhỏ để thuận lợi cho việc tính toán. 1 d, x 2 5x 1 0 . 2 HD: Nên nhân cả hai vế cho 2 để đưa phương trình có hệ số nguyên. e, x2 - 7x + 3 = 0 (Trích câu 1b đề số 2 - Bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và THPT chuyên do NGND Nguyễn Trí Hiệp chủ biên) x2 ( 3 2)x 2 3 0 (Trích câu 1b đề số 28 - Bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và THPT chuyên do NGND Nguyễn Trí Hiệp chủ biên) f, x2 2x 24 0 (Trích câu 1b đề số 36 - Bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và THPT chuyên do NGND Nguyễn Trí Hiệp chủ biên) Bài tập 2: Cho phương trình: x2 – 2x + m - 1 = 0 (với m là tham số) (2) 8
9. Giải phương trình (2) với m = 2; m = -2; m = 5; m = -3. Bài tập 3: Cho phương trình: x2 – 5x + m = 0 (với m là tham số). Giải phương trình với m = 6 (Trích câu 3a đề số 1 - Bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và THPT chuyên do NGND Nguyễn Trí Hiệp chủ biên). Bài tập 4: Cho phương trình: x2 – 2mx + 4 = 0 (với m là tham số). Giải phương trình với m = 3 (Trích câu 3a đề số 4 - Bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và THPT chuyên do NGND Nguyễn Trí Hiệp chủ biên) Dạng toán 2: Xác định điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình bậc hai. Loại 1: Phương trình có nghiệm. Phương pháp giải: Phương trình có nghiệm 0. Loại 2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Phương pháp giải: Phương trình có hai nghiệm phân biệt > 0. Loại 3: Phương trình có nghiệm kép. Phương pháp giải: Phương trình có nghiệm kép = 0. Loại 4: Phương trình vô nghiệm. Phương pháp giải: Phương trình vô nghiệm < 0. Chú ý: Có thể sử dụng công thức nghiệm thu gọn nếu hợp lý. Ví dụ: Cho phương trình: x2 – 2x + m -1 = 0 (với m là tham số) (2) Tìm m để phương trình (2): a, Có nghiệm. b, Có hai nghiệm phân biệt. c, Có nghiệm kép. d, Vô nghiệm. Giải: a, Phương trình (2) có nghiệm ’ 0 b’2 – ac 0 (-1)2 – 1. (m - 1) 0 2 – m 0 m 2. b, Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt ’> 0 b’2 – ac > 0 (-1)2 – 1. (m - 1) > 0 2 – m > 0 m < 2. 9
10. c, Phương trình (2) có nghiệm kép ’= 0 b’2 – ac = 0 (-1)2 – 1. (m - 1) = 0 2 – m = 0 m = 2. d, Phương trình vô nghiệm ’< 0 b’2 – ac < 0 (-1)2 – 1. (m - 1) 2. Một số bài tập đề nghị: Bài tập 1: Cho phương trình: x2 + 2x - m + 3 = 0 (với m là tham số) (3) Tìm m để phương trình (3): a, Có nghiệm. b, Có hai nghiệm phân biệt. c, Có nghiệm kép. d, Vô nghiệm. Bài tập 2: Cho phương trình: x2 – 2mx + m2 + m - 2 = 0 (với m là tham số) (4) Tìm m để phương trình (4): a, Có nghiệm. b, Có hai nghiệm phân biệt. c, Có nghiệm kép. d, Vô nghiệm. Dạng 3: Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Phương pháp giải: Cách 1: Chứng minh ac < 0. Cách 2: Chứng minh > 0 hoặc ’> 0. Ví dụ: Cho phương trình x2 – 2mx - 3m2 - 1 = 0 (với m là tham số) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. Giải: Cách 1: Ta có a.c = 1.( - 3m2 - 1) = - (3m2 + 1) < 0 với mọi giá trị của m nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. Cách 2: Ta có: ’ = b’2 – ac = (- m)2 – (- 3m2 - 1) = m2 + 3m2 + 1 10
11. = 4m2 + 1 > 0 với mọi giá trị của m. Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. Một số bài tập đề nghị: Bài tập 1: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. a, x2 – 2(m - 1)x – 3 – m = 0; b, x2 + (m + 1)x + m = 0; c, x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0; d, x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0; e, x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0; f, x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = 0. Bài tập 2: Cho phương trình x2 – 2mx -1 = 0. Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x1và x2. (Trích câu 3a đề số 7; câu 2a đề số 15; câu 3.1 đề số 28- Bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và THPT chuyên do NGND Nguyễn Trí Hiệp chủ biên) Bài tập 3: Cho phương trình 2x2 – (m + 3)x + m = 0. Chứng tỏ rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. (Trích câu 2.2 đề số 30 - Bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và THPT chuyên do NGND Nguyễn Trí Hiệp chủ biên) Dạng toán 4: Xác định điều kiện của tham số để xét dấu của hai nghiệm của phương trình bậc hai. Đối với dạng toán này ngoài công thức nghiệm cần nhắc lại cho học sinh kiến thức về hệ thức Vi-et: 2 Nếu x1; x2 là 2 nghiệm của pt ax bx c 0, a 0 b S x x 1 2 a thì c P x .x 1 2 a Loại 1: Xác định điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Một số chú ý: - Phương trình có hai nghiệm nên phương trình đã cho phải là phương trình bậc hai, tức là a 0 . 11
12. - Hai nghiệm của phương trình (1) có hai nghiệm có thể là hai nghiệm phân biệt hoặc nghiệm kép, do đó 0 hoặc ’ 0. Trường hợp đề bài cho phương trình có hai nghiệm phân biệt thì > 0 hoặc ’> 0. - Phương trình có hai nghiệm cùng dấu có thể là cùng dương hoặc cùng âm, nên x1.x2 > 0. Phương pháp giải: a 0 Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu 0 x1.x2 0 Ví dụ: Cho phương trình: x2 + 2mx - 2m + 3 = 0 (với m là tham số) (5) Tìm m để phương trình (5) có hai nghiệm cùng dấu. Giải: ' 0 Phương trình (5) có hai nghiệm cùng dấu x1.x2 0 m 1 2 3 m 2m 3 0 m 3 1 m 2 2m 3 0 3 m m 3 2 Chú ý: -Bài toán này có hệ số a đã xác định nên không cần điều kiện a 0 . - Cũng loại toán này nhưng có thêm điều kiện về nghiệm là hai nghiệm phân biệt thì bài giải chỉ thay đổi từ 0 sang > 0 mà thôi. Loại 2: Xác định điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm cùng dương. Đối với loại toán này, ngoài phương trình có hai nghiệm cùng dấu thì hai nghiệm đó phải dương. Phương pháp giải: 12
13. a 0 0 Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương x1.x2 0 x1 x2 0 Ví dụ: Cho phương trình: x2 + 2mx - 2m + 3 = 0 (với m là tham số) (5) Tìm m để phương trình (5) có hai nghiệm cùng dương. Giải: 0 Phương trình (5) có hai nghiệm cùng dương x1.x2 0 x1 x2 0 m 1 2 m 3 m 2m 3 0 m 1 3 2m 3 0 m m 3 m 3 2 2m 0 m 0 m 0 Loại 3: Xác định điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm cùng âm. Đối với loại toán này, ngoài phương trình có hai nghiệm cùng dấu thì hai nghiệm đó phải âm. Phương pháp giải: a 0 0 Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương x1.x2 0 x1 x2 0 Ví dụ: Cho phương trình: x2 + 2mx - 2m + 3 = 0 (với m là tham số) (5) Tìm m để phương trình (5) có hai nghiệm cùng âm. 13
14. Giải: 0 Phương trình (5) có hai nghiệm cùng âm x1.x2 0 x1 x2 0 m 1 m 3 m 1 2 m 2m 3 0 3 m 3 3 2m 3 0 m 1 m 2 3 2 2m 0 0 m m 0 2 Loại 4: Xác định điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm trái dấu. Phương trình có hai nghiệm trái dấu nên phương trình có hai nhiệm phân biệt, tức ’ là > 0 hoặc > 0 ngoài ra hai nghiệm phải trái dấu tức là x1.x2 < 0. Phương pháp giải: a 0 Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu 0 x1.x2 0 Ví dụ: Cho phương trình: x2 + 2mx - 2m + 3 = 0 (với m là tham số) (5) Tìm m để phương trình (5) có hai nghiệm trái dấu. Giải: a 0 Phương trình (5) có hai nghiệm trái dấu 0 x1.x2 0 m 1 2 m 2m 3 0 m 3 3 m 2m 3 0 3 2 m 2 14
15. Loại 5: Xác định điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm đối nhau. Phương trình có hai nghiệm đối nhau tức là hai nghiệm trái dấu, ngoài ra điều kiện để hai nghiệm đối nhau là x1 + x2 = 0. Phương pháp giải: a 0 Phương trình (1) có hai nghiệm đối nhau 0 x1 x2 0 Ví dụ: Cho phương trình: x2 + 2mx - 2m + 3 = 0 (với m là tham số) (5) Tìm m để phương trình (5) có hai đối nhau. Giải: 0 Phương trình (5) có hai nghiệm đối nhau x1 x2 0 2 m 1 m 2m 3 0 m 3 không tồn tại m. 2m 0 m 0 Một số bài tập đề nghị: Bài tập 1: Cho phương trình: x2 + 2mx - 3m - 2 = 0 (với m là tham số) (6) Tìm m để phương trình (6): a, Có hai nghiệm cùng dấu. b, Có hai nghiệm cùng dương. c, Có hai nghiệm cùng âm. d, Có hai nghiệm trái dấu. Bài tập 2: Cho phương trình x2 - 6x + m = 0. Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu. (Trích câu 3a đề số 11 - Bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và THPT chuyên do NGND Nguyễn Trí Hiệp chủ biên). Bài tập 3: Cho phương trình x2 + (2m + 1)x + m2 + 1 = 0 a, Giải phương trình khi m = 1. 15
16. b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm. (Trích câu 2 đề số 32 - Bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và THPT chuyên do NGND Nguyễn Trí Hiệp chủ biên). Dạng 5: So sánh hai nghiệm với nhau hoặc các nghiệm với một số cho trước Loại 1: Xác định điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. Phương trình có nghiệm này gấp đội nghiệm kia tức là phương trình phải có ’ 2 nghiệm ( 0 hoặc 0) và x1 = 2x2, x = 2x1. Phương pháp giải: 0 Phương trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia (x1 2x2 )(2x1 x2 ) 0 0 2 2(x1 x2 ) 9x1x2 0 Ví dụ: Cho phương trình x2 - 2x + m - 1 = 0 Tìm m để phương trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. Giải: ' 0 Phương trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia (x1 2x2 )(2x1 x2 ) 0 ' 0 (*) 2 2(x1 x2 ) 9x1x2 0 b c Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 2 và x .x m 1 a 1 2 a m 2 2 m 0 17 Nên (*) 17 m 8 9(m 1) 0 m 9 9 Loại 2: Xác định điều kiện của tham số để phương trình (1) nghiệm x1 và tìm nghiệm còn lại. Phương pháp giải: - Thay x1 vào phương trình (1), giải tìm được giá trị của tham số. - Sử dung hệ thức Vi-ét hoặc thay giá trị của tham số để tìm nghiệm còn lại. Ví dụ: Cho phương trình x2 - 2x + m - 1 = 0 16
17. Tìm m biết phương trình có một nghiệm bằng x1 = 2 và tìm nghiệm còn lại. Giải: Thay x = 2 vào phương trình ta có: 22 – 2.2 + m - 1 = 0 m = 1 b Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có x1 + x2 2 mà x1 = 2 x2 = 0. a Dạng toán này còn có so sánh nghiệm với một số cho trước như x , x , x  , ... Nhưng loại toán này ít gặp, đặc biệt là chưa xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT của tỉnh nhà trong nhiều năm qua. Tôi sẽ tiếp tục đề cập tới loại toán này trong một chuyên đề khác. Bài tập đề nghị: Bài tập 1: Cho phương trình x2 + 2x + m - 3 = 0 a, Tìm m biết phương trình có một nghiệm x1 = -3 và tìm nghiệm còn lại. b, Tìm m để phương trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. Bài tập 2: Cho phương trình x2 + 2(m + 1)x + m2 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng -2. (Trích câu 2.2b đề số 12 - Bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và THPT chuyên do NGND Nguyễn Trí Hiệp chủ biên). Bài tập 3: Cho phương trình x2 - 2mx - 6m = 0 Tìm m để phương trình có một nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia. (Trích câu 3.2 đề số 39 - Bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và THPT chuyên do NGND Nguyễn Trí Hiệp chủ biên). Dạng 6: Tính tổng và tích hai nghiệm hoặc tính giá trị của một biểu thức về hai nghiệm. Khi gặp dạng toán này cần chú ý: - Kiểm tra xem phương trình có nghiệm hay không. - Biến đổi biểu thức của hai nghiệm về tổng và tích của hai nghiệm đó. - Sử dụng hệ thức Vi-ét. 2 Ví dụ: Cho phương trình: x + 2x - 3 = 0 (7). Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (7), hãy tính: 17
18. 1 1 a, x1 x2 b, x1.x2 c, x1 x2 2 2 2 2 x1 x2 d, x1 x2 x1x2 e, x1 x2 f, x2 x1 1 1 3 3 4 4 g, 2 2 h, x1 x2 i, x1 x2 x1 x2 1 1 x1 x2 k, j, l, x1 x2 x1 2 x2 2 x1 2 x2 2 m, (x1 2)(x2 2) n, (2x1 1)(2x2 1) p, (2x1 3x2 )(2x2 3x1) Hướng dẫn giải: Bước 1: Kiểm tra xem phương trình đã cho có nghiệm hay không: Đầu tiên là kiểm tra ac < 0 nếu không thì kiểm tra 0 hoặc ’ 0. Với bài toán này ta có ac = 2.(-3) < 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt. Bước 2: Sử dụng hệ thức Vi-ét để tính tổng và tích hai nghiệm b c Ta có: x x 2 và x1.x2 3 1 2 a a Bước 3: Biến đổi các biểu thức đã cho về dạng tổng và tích hai nghiệm. a, x1 x2 b, x1.x2 1 1 x1 x2 2 2 c, d, x1 x2 x1x2 x1x2 (x1 x2 ) x1 x2 x1x2 2 2 2 e, x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 x x x 2 x 2 (x x )2 2x x f, 1 2 1 2 1 2 1 2 x2 x1 x1x2 x1x2 2 2 2 1 1 x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 g, 2 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 (x1x2 ) 3 3 2 2 2 h, x1 x2 (x1 x2 )(x1 x1x2 x2 ) (x1 x2 ) (x1 x2 ) 3x1x2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 i, x1 x2 (x1 x2 ) 2x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 2(x1x2 ) 1 1 x 2 x 2 x x 4 k, 2 1 2 1 x1 2 x2 2 (x1 2)(x2 2) x1x2 2(x1 x2 ) 4 18
19. x x x (x 2) x (x 2) 2x x 2(x x ) j, 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 x1 2 x2 2 (x1 2)(x2 2) x1x2 2(x1 x2 ) 4 2 2 2 l, Đặt A = x1 x2 A (x1 x2 ) (x1 x2 ) 4x1x2 m, (x1 2)(x2 2) x1x2 2(x1 x2 ) 4 n, (2x1 1)(2x2 1) 4x1x2 2(x1 x2 ) 1 2 p, (2x1 3x2 )(2x2 3x1) 19x1x2 6(x1 x2 ) Bước 4: Thay giá trị ở bước 2 vào bước 3. Chú ý: Đối với bài toán này, tôi hướng dẫn bằng cách sử dụng hệ thức Vi-ét nhằm để phục vụ cho các dạng toán tiếp theo. Tuy nhiên, với một số biểu thức có thể giải phương trình tìm nghiệm rồi thay vào thì nhanh hơn. Bài tập đề nghị: 2 Bài tập 1: Cho phương trình: x - 4x + 1 = 0 (8). Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (8), hãy tính: 1 1 a, x1 x2 b, x1.x2 c, x1 x2 2 2 2 2 x1 x2 d, x1 x2 x1x2 e, x1 x2 f, x2 x1 1 1 3 3 4 4 g, 2 2 h, x1 x2 i, x1 x2 x1 x2 1 1 x1 x2 k, j, l, x1 x2 x1 2 x2 2 x1 2 x2 2 m, (x1 2)(x2 2) n, (2x1 1)(2x2 1) p, (2x1 3x2 )(2x2 3x1) 2 Bài tập 2: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x - x – 3 = 0. Tính giá trị của 2 2 biểu thức P = x1 x2 . (Trích câu 2b đề số 6 - Bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và THPT chuyên do NGND Nguyễn Trí Hiệp chủ biên). 2 Bài tập 3: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 3x - x – 2 = 0. Tính giá trị 1 1 của biểu thức P = . x1 x2 19
20. (Trích câu 1b đề số 8 - Bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và THPT chuyên do NGND Nguyễn Trí Hiệp chủ biên). Dạng 7: Xác định giá trị của tham số để thỏa mãn một đẳng thức của hai nghiệm. Đây là dạng bài tập quan trọng. Dạng toán này luôn xuất hiện ở các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT của tỉnh nhà trong nhiều năm trở lại nay. Thường thì những học sinh thực sự khá mới đạt điểm tối đa với dạng toán này. Bài làm của các em thường sót dữ kiện hoặc chưa biến đổi được biểu thức nghiệm về dạng tổng và tích hai nghiệm. Phương pháp giải: - Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. - Biến đổi biểu thức của hai nghiệm về tổng và tích của chúng. - Sử dụng hệ thức Vi-ét. - Sử dụng mối quan hệ giữa các nghiệm, về thông tin đề bài,... Ví dụ: Cho phương trình: x2 + 2x + m - 1 = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 1 1 a, x1 x2 x1x2 1 b, 2x1 3x2 5 c, 3 x1 x2 2 2 2 2 x1 x2 d, x1 x2 x1x2 2 e, x1 x2 10 f, 1 x2 x1 1 1 3 3 4 4 g, 2 2 4 h, x1 x2 7 i, x1 x2 20 x1 x2 1 1 x1 x2 k, 3 j, 1 l, x1 x2 5 x1 2 x2 2 x1 2 x2 2 m, (x1 2)(x2 2) 6 n, (2x1 1)(2x2 1) 12 p, (2x1 3x2 )(2x2 3x1) 4 Hướng dẫn giải: Bước 1: Ở đây bài toán cho phương trình có hai nghiệm x1, x2 nên có thể là hai nghiệm phân biệt và cũng có thể là nghiệm kép nên ’ 0. Ta có ’ = b’2 – ac = 12 – (m - 1) = 2 - m ’ Phương trình có hai nghiệm x1, x2 0 2 – m 0 m 2 (*). 20