SKKN Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh đại trà ôn thi vào lớp 10 THPT - Nguyễn Đình Nam

Nội dung tài liệu: SKKN Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh đại trà ôn thi vào lớp 10 THPT - Nguyễn Đình Nam

1. A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đổi mới phương pháp dạy học được hiểu là tổ chức các hoạt động dạy học tích cực cho người học. Từ đó khơi dậy và thúc đẩy nhu cầu tìm tòi, khám phá chiếm lĩnh của người học; phát triển tư duy, phát huy khả năng tự học của học sinh. Thực tế cho thấy qua những năm giảng dạy ở trường THCS. Tôi nhận thấy rằng các em học sinh, nhất là lớp 9 phải chịu nhiều áp lực trong việc thi cử đặc biệt là thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và thi vào các trường chuyên. Mà ở các kỳ thi đó, nội dung đề thi thường rơi vào kiến thức cơ bản không thể thiếu đó là chương “Góc với đường tròn” SGK Toán 9 Tập 2- Trang 88 Nhà xuất bản giáo dục. Đề bài thường cho dưới dạng: Chứng minh tứ giác nào đó nội tiếp một đường tròn. Phần lớn các em rất bối rối không làm được bài, bởi vì các em chưa nhận thấy được các dữ kiện của bài toán đã cho có liên quan đến một kiến thức rất quan trọng về dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp một đường tròn mà các em đã được học. Xuất phát từ lý do đó, qua nhiều năm giảng dạy lớp 9 và học hỏi ở đồng nghiệp, tôi rút ra được một số kinh nghiệm cho bản thân để cùng các em giải quyết được vấn đề khó khăn ở trên. Chính vì vậy tôi rất tâm đắc và chọn đề tài: “ Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh đại trà ôn thi vào lớp 10 THPT ”. II. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI 2.1.Mục đích nghiên cứu Đề tài này được nghiên cứu nhằm mục đích: + Giúp cho bản thân có kiến vững vàng hơn trong công tác giảng dạy và ôn tập cho học sinh. + Giúp cho học sinh vững tin hơn trong việc ôn tập và làm bài thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT. + Giúp học sinh lớp 9 tiếp cận và giải được dạng toán Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn trong chương trình THCS hiện hành. 1
2. + Rèn luyện cho học sinh về khả năng giải toán, khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải cho một bài toán để học sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạo được lòng say mê, sáng tạo trong học tập. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu + Đưa ra những kiến thức, bài tập cơ bản nhất của dạng toán “Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn” phần Hình học 9, chỉ ra được một số dấu hiệu nhận biết và phương pháp đơn giản cần đạt của học sinh trong quá trình giải toán. + Đề xuất một số phương pháp phân loại toán theo thứ tự từ dễ đến khó cho học sinh tiếp cận từ từ, đồng thời rèn luyện cho học sinh tìm tòi lời giải. III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đề tài được áp dụng cho đối tượng học sinh lớp 9 THCS hiện hành và đặc biệt dùng cho học sinh lớp 9 đại trà ôn thi vào lớp 10 THPT về dạng bài tập Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn. IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 4.1. Nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về các vấn đề liên quan đến đề tài của sáng kiến kinh nghiệm. 4.2. Nghiên cứu thực tiễn: Quan sát thực trạng dạy và học môn Hình học nói chung và dạy học dạng toán chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn nói riêng cho đối tượng học sinh lớp 9 đại trà. Thông qua các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT trên địa bàn của những năm trước, thông qua chấm, chữa các bài kiểm tra, các bài thi của học sinh và thông qua các hoạt động học tập của các em, để từ đó có cơ sở phân dạng các dạng toán phù hợp cho học sinh để ôn tập và làm bài thi. 4.3. Thực nghiệm sư phạm: Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã khảo sát thực trạng trước khi nghiên cứu và tiếp tục khảo sát sau khi áp dụng đề tài để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện đó. 4.4. Giả thuyết khoa học: 2
3. Nếu trong quá trình học tập em nào cũng có phương pháp học tập tốt, biết phân dạng bài tập, nhận ra dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp một đường tròn, trong chương “Góc với đường tròn” (Chương III - Hình Học 9-Tập 2) thì kết quả chất lượng sẽ cao, học sinh không phải lo sợ nhiều về việc lĩnh hội tri thức. B. NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN Trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, dạng toán Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn thường gặp. Muốn giải được bài tập dạng này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các dấu hiệu nhận biết và phải biết vận dụng chúng vào từng loại bài tập. Cái khó ở đây là kĩ năng vẽ hình của các em học sinh rất yếu. Chính vì vậy một số em có học lực trung bình, yếu không làm được bài tập. Vì vậy cần phải rèn luyện cho học sinh kỹ năng vẽ hình và nhận thấy được mối quan hệ qua lại giữa Hình học và các đơn vị kiến thức liên quan để các em có thể tự mình phát hiện và vận dụng nó một cách linh hoạt vào việc giải bài tập, làm bài thi tự tin hơn. Từ thực tế nguyên nhân trên và bằng kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, để nâng cao chất lượng dạy học bộ môn và phân loại các dạng bài tập giúp học sinh yếu kém có cơ hội làm được toán, tôi đã sưu tầm một số dạng bài toán qua các đề thi năm trước để khi thực hiện học sinh dễ tiếp cận, với đề tài “ Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh đại trà ôn thi vào lớp 10 THPT ”. Tôi đã hệ thống một số dạng bài tập mà học sinh có học lực yếu, kém có thể tiếp cận và giải được. Với mỗi dạng tôi đều đưa ra kiến thức cơ bản cần sử dụng và các ví dụ minh hoạ phù hợp. Ngoài ra còn có các dạng bài tập liên quan nhằm mục đích nâng cao chất lượng dạy học bộ môn toán, kích thích lòng say mê hứng thú khi học môn Toán, phát triển tư duy độc lập sáng tạo và năng lực tự học cho học sinh lớp 9. 3
4. II. THỰC TRẠNG Như chúng ta đã biết trên địa bàn tỉnh Hà Tĩnh công tác tuyển sinh vào lớp 10 THPT, Sở giáo dục và đào tạo đã đổi mới hình thức thi tuyển nhằm chọn lọc và phân loại trình độ học sinh. Phương pháp thi tuyển gồm 3 môn thi là Toán, Văn bắt buộc và môn thứ ba. Sau khi thi tuyển Sở GD-ĐT sẽ công bố điểm và xếp hạng trường THCS theo điểm của 3 môn tuyển sinh từ cao xuống. Điều này sẽ khiến các trường nỗ lực cao trong giảng dạy, ôn tập cho học sinh để đạt được yêu cầu cao về chất lượng tuyển sinh và tăng vị trí xếp hạng hàng năm. Từ thực tiễn này mà không những cán bộ quản lý mà các giáo viên luôn cùng học sinh tìm tòi phương pháp kiến thức trọng tâm để nhằm ôn tập cho học sinh có kết quả. Với những trường nằm ở những vùng xa xôi khó khăn như huyện Hương Khê thì việc giúp học sinh tăng lên nữa điểm là cũng cả một vấn đề đòi hỏi sự nổ lực rất nhiều của cả thầy và trò thì mới có kết quả. Đặc biệt trong quá trình giảng dạy và ôn tập cho học sinh, người thầy phải phân ra các dạng toán để ôn tập cho phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh. Đặc biệt là dạng toán Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn thường gặp trong đề thi vào lớp 10 THPT. Trước khi nghiên cứu đề tài tôi đã khảo sát 90 em học sinh của khối lớp 9 có học lực tương đương nhau trong một trường qua mỗi năm học và tôi đã ra đề kiểm tra dạng toán Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn, lấy số liệu điều tra theo dõi kết quả cả 3 khóa học lớp 9 trong những năm liền kề, kết quả cho thấy như sau: Kết quả điểm kiểm tra Năm học Số học Đề tài sinh Giỏi Khá Trung Yếu Kém bình 2018-2019 90 Chưa áp dụng 2% 7% 32% 49% 10% 2019-2020 90 Chưa áp dụng 3% 8% 30% 47% 12% 2020-2021 90 Chưa áp dụng 2% 6% 32% 49% 11% 4
5. Qua kết quả điều tra khảo sát ở trên tôi thấy tỉ lệ học sinh yếu, kém chiếm tỉ lệ khá cao, học sinh còn lúng túng chưa biết phân loại các dạng toán, chưa nhận ra các dấu hiệu để áp dụng, bên cạnh đó tâm lý lo sợ, e ngại thiếu tự tin. Trong chương trình toán THCS, môn Hình học là rất quan trọng và rất cần thiết cấu thành nên chương trình toán học cấp THCS cùng với môn số học và đại số. Hình học là một bộ phận đặc biệt của toán học. Phân môn Hình học này có tính trừu tượng cao, học sinh luôn coi là môn học khó. Với môn Hình học là môn khoa học rèn luyện cho học sinh khả năng đo đạc, tính toán, suy luận logíc, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Đặc biệt là rèn luyện cho học sinh đại trà trong cách tìm lời giải bài tập toán. Vì vậy muốn học tốt môn học này không những đòi hỏi học sinh phải có các kĩ năng đo đạc và tính toán như các môn học khác mà còn phải có kĩ năng vẽ hình, khả năng tư duy hình học, khả năng phân tích tìm lời giải bài toán và khả năng khai thác các cách giải và phát triển bài toán theo một cách có hệ thống. Điều đó đã dẫn đến một số thực trạng là có không ít học sinh lớp 9 chỉ chuyên tâm vào học môn Đại số và bỏ mặc môn Hình học. Nguyên nhân thì có nhiều nhưng nguyên nhân cơ bản là các em không biết định hướng chứng minh, không tìm được mối liên hệ giữa các kiến thức và còn không biết cách trình bày lời giải. Với tầm quan trọng như vậy, để khắc phục tình trạng trên và giúp các em có cái nhìn đúng đắn về việc học bộ môn Hình học. Trong quá trình giảng dạy, bên cạnh tìm ra phương pháp dạy lý thuyết thích hợp, người thầy luôn cố gắng rèn cho học sinh khả năng định hướng chứng minh qua các nội dung bài tập, củng cố lý thuyết và bài tập luyện tập. Trên thực tế ngoài cách chứng minh tứ giác nội tiếp rất cơ bản thể hiện ở định lý đảo “ Tứ giác nội tiếp ” Trang 88 SGK Toán 9 tập 2 thì SGK đã chia nhỏ để hình thành bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Tuy nhiên chưa đặt các dấu hiệu thành một hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn cho học sinh; nhiều học sinh không hiểu cơ sở của dấu hiệu. Dẫn đến học sinh rất lúng túng khi tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn. Với học sinh lớp 9 đây là dạng toán mới lạ nhưng lại hết sức quan trọng giúp học sinh nhìn nhận lại được các bài toán đã giải ở lớp 8 ( Hình chữ nhật) để có cách giải hay cách lý giải căn cứ khác. Với những lý do trên đây trong đề tài này tôi đưa ra một số cách để chứng minh một tứ giác nội tiếp sau khi học sinh học xong bài “Tứ giác nội tiếp một đường tròn”. 5
6. Trước thực trạng trên, đòi hỏi phải có các giải pháp và phương pháp dạy và học sao cho phù hợp, từ đó đã thúc dục bản thân tôi tìm hiểu và thực hiện nghiên cứu đề tài này. III. CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Trong nội dung này tôi xin trình bày một số dạng toán giúp học sinh dễ tiếp cận một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp một đường tròn và giải được một số dạng toán đơn giản, như sau: - Phương pháp 1: Chứng minh các điểm cách đều một điểm. - Phương pháp 2: Định lý thuận, định lý đảo về “Tứ giác nội tiếp một đường tròn” Trang 87, 88 SGK Toán 9 tập 2. - Phương pháp 3: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. - Phương pháp 4: Các bài toán cơ bản về quỹ tích cung chứa góc. IV. CÁC DẠNG TOÁN CỤ THỂ: - Khi dạy xong bài “Tứ giác nội tiếp một đường D tròn” Trang 87,88 SGK Toán 9 tập 2. Học sinh tự rút C ra được cách chứng minh tứ giác nội tiếp là: A O Dạng 1: ( Định nghĩa) Nếu tứ giác ABCD có: OA = OB = OC = OD thì ABCD là tứ giác nội tiếp B một đường tròn tâm O bán kính OA (Hay tứ giác ABCD có A, B, C, D thuộc đường tròn (O) thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Dạng 2: (Tính chất) Nếu tứ giác ABCD có: D A C 1800 hoặc B D 1800 C thì ABCD là tứ giác nội tiếp một đường tròn Với bài toán đặc biệt hơn, tứ giác ABCD có: A O BAD BCD 900 => BAD BCD 1800 =>Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính B BD. Đây là cách đơn giản và thường gặp nhất. D Dạng 3: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc C x trong của đỉnh đối diện. Khai thác: Sử dụng tính chất của hai góc kề bù gọi A tia đối của tia CD là tia Cx chẳng hạn: O B Giả sử: xCB BAD Mà xCB và BCD là hai góc kề bù nên xCB BCD 1800 => BAD BCD 1800 6
7. Suy ra tứ giác ABCD nội tiếp D (Tổng hai góc đối bằng 1800 ) C Dạng 4: Các bài toán cơ bản về quỹ tích cung chứa góc. O A Xét tứ giác ABCD có ADB ACB . B Với C, D nằm ở cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa AB ta sẽ chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp. Ta có: ADB ACB và AB cố định nên C và D D C nằm trên cung chứa góc dựng trên đoạn AB (theo bài toán quỹ tích cung chứa góc ) Suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường A O B tròn hay tứ giác ABCD nội tiếp . Vậy là ta có cách thứ tư để chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn. Với trường hợp đặc biệt : Khi cho = 90o ta có ADB ACB 900 . Và hai điểm C, D liên tiếp cùng nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc 900 Suy ra tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB Ta có thể xét thêm trường hợp dựa vào kết quả bài toán phương tích: Từ một điểm M M A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai cát tuyến B MAB, MCD. C Chứng minh MA.MB = MC. MD. O Ta chứng minh ∆MAD ∆MCB (g-g) MA MD => => MA.MB = MC. MD. D MC MB Đảo lại: Nếu có: MA.MB = MC.MD và A MB; C MD. Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp. Ta dễ dàng chứng minh ∆MAD ∆MCB (c-g-c) => MDA MBC . Suy ra tứ giác ABCD nội tiếp ( Quỹ tích cung chứa góc). Với trường hợp này đa phần là ứng dụng để chứng minh đẳng thức: a.b = c.d Như vậy với cách nghiên cứu như trên cùng với định nghĩa đường tròn ta có một số cách chứng minh (dấu hiệu nhận biết) nhanh tứ giác nội tiếp một đường tròn để vận dụng làm bài tập. 7
8. V. MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH “TỨ GIÁC NỘI TIẾP MỘT ĐƯỜNG TRÒN”. Dạng 1: Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm. Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. Với dạng toán này, ta chứng minh các điểm cách đều một điểm. Để sử dụng phương pháp này, học sinh cần biết tìm được điểm mà các điểm khác cách đều và biết vận dụng cơ sở nào để chứng minh. Giáo viên cần chuẩn bị tốt cho học sinh các kiến thức liên quan (Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền - Bài: Hình chữ nhật – Hình học 8). Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền ( Hình học 9 – Ôn tâp chương II ) Phương pháp : Vận dụng các tam giác vuông có cạnh huyền chung. Nếu hai hay nhiều tam giác vuông có cạnh huyền chung thì ta có thể chứng minh đa giác tạo thành bởi các đỉnh của các tam giác đó nội tiếp trong đường tròn. Với kiến thức trên ta có thể chứng minh được các dạng bài tập này. B Bài toán 1.1: Cho tứ giác ABCD có: ABD ACD 900 . C Chứng minh các điểm A, B, C, D cùng thuộc một A D đường tròn. Xác định tâm đường tròn. O Phân tích tìm lời giải: Để chứng minh các điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Ta có thể xét những tam giác vuông nào có cạnh huyền chung? Dễ dàng ta tìm được các tam giác vuông có cùng cạnh huyền. Vậy tâm của đường tròn là trung điểm cạnh huyền. Lời giải : Gọi O là trung điểm AD. ∆ABD vuông tại B nên ∆ABD nội tiếp đường tròn đường kính AD. ∆ACD vuông tại C nên ∆ACD nội tiếp đường tròn đường kính AD. => A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính AD. Tâm của đường tròn là trung điểm O của đoạn thẳng AD. Bài toán 1.2: Cho tứ giác ABCD có ABC ADC 900 . Chứng minh các điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm đường tròn. Phân tích tìm lời giải: B Tương tự bài toán 1.1, ta xét tương tự những tam giác vuông có cùng cạnh huyền và chứng minh được các điểm cùng thuộc đường tròn. A C O Lời giải : Nối AC, gọi O là trung điểm AC. D 8
9. ∆ABC vuông tại B nên ∆ABC nội tiếp đường tròn đường kính AC. ∆ADC vuông tại D nên ∆ADC nội tiếp đường tròn đường kính AC. => A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính AC. Tâm của đường tròn là trung điểm O của đoạn thẳng AC. Bài toán 1.3: Cho tam giác ABC, kẻ các đường cao BH, CK. Chứng minh các điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm đường tròn. Phân tích tìm lời giải: Với yêu cầu bài toán, ta A cần xét những tam giác vuông nào có cùng cạnh huyền? Vì sao tam giác đó vuông ? K Lời giải : H Ta có BH là đường cao của tam giác ABC nên BHC 900 . B C Suy ra ∆BCH vuông tại H nên ∆BCH nội tiếp O đường tròn đường kính BC (1) Tương tự, ta có CK là đường cao của tam giác ABC nên BKC 900 Suy ra ∆BCK vuông tại K nên ∆BCK nội tiếp đường tròn đường kính BC (2) Từ (1) và (2) => B, H, C, K cùng thuộc đường tròn đường kính BC. Gọi O là trung điểm BC=> Tâm đường tròn là trung điểm O của BC. Nhận xét chung: Với dạng toán này ta có thể dễ dàng chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn và xác định được tâm của đường tròn đó. Ở cách chứng minh này các em cần phải chứng minh được tam giác vuông, các em hay sai sót ở chỗ chỉ ghi góc vuông. Một số em còn có thể sử dụng kiến thức đường trung tuyến ứng vơi cạnh huyền để xác định các điểm cách đều một điểm. Tuy nhiên cách chứng minh đó dài dòng hơn. Dạng 2: Tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng 1800. Phương pháp: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180 0 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn (định lý đảo trang 88 SGK Toán 9 tập 2). Với dạng toán này chúng ta cần nhìn nhận một cách cụ thể, phán đoán tốt về cặp góc đối điện, nếu nhận đính sai cặp góc dẫn đến chứng minh không hiệu quả. Bài toán 2.1: Cho tứ giác ABCD có ABC ADC 900 . Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Xác định tâm đường tròn. 9
10. Phân tích tìm lời giải: Với bài tập này ta dễ dàng B chọn cặp góc đối diện. Lời giải : Xét tứ giác ABCD có ABC ADC 900 A C O => ABC ADC 900 900 1800 . Suy ra tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn D đường kính AC (Tổng hai góc đối diện bằng 1800 ) Tâm đường tròn là trung điểm O của cạnh AC. Nhận xét: Một số em chỉ nêu hai góc bằng 90 0 nhưng chưa cộng tổng hai góc. Một số em hay sai ở phần giải thích: Hai góc đối diện bằng 1800 . Bài toán 2.2: Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R , phía trong nửa đườn tròn vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính AO. Từ A kẻ dây cung AC cắt đường tròn (O’) tại D. Từ C hạ CH vuông góc AB. Chứng minh tứ giác ODCH nội tiếp, xác định tâm I của đường tròn này. C Phân tích tìm lời giải: Với bài tập này, các em khó khăn hơn trong việc tìm cặp góc D đối diện để chứng minh tứ giác nội tiếp. I Giáo viên có thể gợi mở, trong tứ giác ODCH có góc nào đặc biệt? ( OHC 900 ). A B O' O H Vậy góc đối diện ta cần chứng minh như thế nào? Lời giải : Xét đường tròn (O’) có ADO 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => ODC 900 (hai góc kề bù); OHC 900 (CH vuông góc AB) Xét tứ giác ODCH có: ODC 900 (chứng minh trên) và OHC 900 (chứng minh trên) => ODC OHC 900 900 1800 . Suy ra tứ giác ODCH nội tiếp đường tròn đường kính OC. (Tổng hai góc đối diện bằng 1800 ) Tâm đường tròn là trung điểm I của OC. Bài toán 2.3: Từ một điểm S nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến SA, SB ( A, B là tiếp điểm ), cát tuyến SCD ( C nằm giữa S và D). Gọi H là trung điểm CD. Chứng minh các điểm S, A, H,O, B, cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm đường tròn. Phân tích tìm lời giải: A Mức độ bài toán này khó hơn là D chúng ta phải chứng minh 5 điểm cùng C H thuộc một đường tròn. Chúng ta có thể chia S O nhỏ để chứng minh các điểm thuộc đường tròn. Ta có thể chứng minh tứ giác nào nội tiếp đường tròn? (Tứ giác SAOB và tứ giác B SHOB). 10
11. Với tứ giác SAOB ta có thể dễ dàng chọn cặp góc đối diện nhờ hình vẽ bởi tiếp tuyến SA, SB. Với tứ giác SHOB ta có nhận xét gì về điểm H? ( Kiến thức cần dùng ở đây là quan hệ đường kính và dây). Ở đây ta có thể sử dụng kiến thức ở phần kết luận để suy ra vấn đề cần chứng minh cho điểm H. Với cách chia nhỏ như trên ta có thể dễ dàng chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn. Lời giải : Xét tứ giác SAOB có: SA, SB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên SAO SBO 900 => SAO SBO 900 900 1800 . Suy ra tứ giác SAOB nội tiếp đường tròn đường kính SO. (1) ( Tổng hai góc đối diện bằng 1800 ) Xét đường tròn (O) có H là trung điểm CD nên OH  CD nên SHO 900 . Xét tứ giác SHOB có SHO SBO 900 900 1800 . Suy ra tứ giác SHOB nội tiếp đường tròn đường kính SO. (2) ( Tổng hai góc đối diện bằng 1800 ) Từ (1) và (2) => S, A, O, H, B, cùng thuộc đường tròn đường kính SO Bài toán 2.4 A ( Kiểm tra học kì II năm 2015 – 2016) Cho tam giác nhọn ABC(AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Vẽ bán kính OD vuông góc với O dây BC tại I. Tiếp tuyến đường tròn (O) tại C và D cắt nhau tại M. Tia CM cắt tia AD tại K, tia B C AB cắt tia CD tại E. I a/ Chứng minh tứ giác ODMC nội tiếp một D M đường tròn. b/ Chứng minh tứ giác ACKE nội tiếp. E K c/ Chứng minh EK // DM. Phân tích tìm lời giải: - Phân tích tương tự, ta có thể chứng minh tứ giác OCMD nội tiếp. Lời giải : Xét tứ giác ODMC có: CM, DM là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên MCO MDO 900 => MCO MDO 900 900 1800 Suy ra tứ giác ODMC nội tiếp đường tròn đường kính OM. ( Tổng hai góc đối diện bằng 1800 ) Dạng 3: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. Phương pháp: Nếu một tứ giác có một góc ngoài bằng góc trong của đỉnh đối diện thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn. Dạng toán này chỉ là hệ quả của dạng 2. Với dạng toán này, đa số học sinh không làm được vì chứng minh các góc bằng nhau không được. Giáo viên cần khắc phục nhược điểm này bằng 11
12. cách: Chúng ta cần cho học sinh nắm các kiến thức liên quan giữa góc với đường tròn và áp dụng các tính chất đó vào giải quyết các bài tập. Ta có thể sử dụng các kết quả đã chứng minh để có được các góc bằng nhau. Với dạng toán này cần có các bài tập có hệ thống để học sinh tích hợp phương pháp chứng minh tốt nhất. Bài toán 3.1 (BT 39/SBT) Trên đường tròn tâm O có một cung AB và S là điểm chính giữa của cung đó. Trên dây AB lấy điểm E và H. Các đường thẳng SH, SE cắt đường tròn tại C và D. Chứng minh CDEH là một tứ giác nội tiếp. Phân tích tìm lời giải: Với tứ giác CDEH, ta không có các đỉnh của góc A đối là các góc vuông. Vậy ta cần chứng minh như E S thế nào? D H Cách 1: Để chứng minh tứ giác CDEH nội tiếp được ta cần chúng minh góc B O DCH DEH 1800 . Vậy thử xét quan hệ giữa tổng số đo hai góc này với số đo các cung có liên quan như thế nào ? C 1 1 Ta có: DCH = sđSA+ sđDA; 2 2 1 1 1 DEH = sđ DC+ sđ CB+ sđ SA 2 2 2 Cộng kết quả ta thấy được điều gì? Thiếu cung SB nhưng thừa cung SA Nhận xét gì về hai cung trên? Cách 2: Giả sử tứ giác CDEH nội tiếp ta có được kết quả nào? ( SEH DCH ). Theo định lý đảo ta cần chứng minh điều gì ? Hãy dựa vào định nghĩa của các góc để xác định tính chất của nó. Lời giải : Xét đường tròn (O) có: 1 1 SEH » = sđSB SB+ sđAD ( Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn) 2 2 1 1 DCH = sđSA+ sđAD ( Góc nội tiếp ) 2 2 Mà SA = SB (gt) =>  SEH=  DCH Xét tứ giác CDEH có  SEH=  DCH (chứng minh trên). Lại có  SEH + DEH = 180 0 ( kề bù) nên  DCH +  DEH = 180 0 . => Tứ giác CDEH nội tiếp đường tròn (Tổng hai góc đối diện bằng 1800 ). Bài toán 3.2: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ A kẻ hai đường thẳng cắt tiếp tuyến của đường tròn tại điểm B ở E và F, cắt đường tròn (O) ở C và D. Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được. Phân tích tìm lời giải: 12
13. Tương tự với cách phân tích như bài toán 3.1, E để chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp ta cần chứng C minh cặp góc nào bằng nhau? Cái khó của bài toán là học sinh chưa thấy được số đo của hai cung AB bằng nhau vì AB là đường kính. Ta có thể khai thác A B O bài toán theo hướng khác là sử dụng góc trung gian nhưng vẫn đảm bảo phương pháp giải (  ABC). D F Lời giải : 1 1 1 Cách 1: Xét đường tròn tâm (O) có:  AEF = sđAB- sđBC= sđAC 2 2 2 (góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn) 1 Lại có: ADC = sđAC ( góc nội tiếp ) => AEF = ADC 2 Xét tứ giác CDFE có: AEF = ADC và ADC CDF 1800 (kề bù) => AEF + CDF = 1800 Suy ra: Tứ giác CDFE nội tiếp một đường tròn. (Tổng hai góc đối diện bằng 1800 ) Cách 2: Ta thấy tứ giác ACBD nội tiếp đường tròn (O) nên ADC ABC ( góc nội tiếp cùng chắn cung AC); ABC AEF (cùng phụ với góc CBE) => AEF ADC . Xét tứ giác CDFE có: AEF ADC . và ADC CDF 1800 ( kề bù ) => AEF + CDF = 1800 Suy ra: Tứ giác CDFE nội tiếp một đường tròn . (Tổng hai góc đối diện bằng 1800 ) Bài toán 3.3 : Cho tam giác ABC nhọn, BAC 600 nội tiếp đường tròn (O; R). Tiếp tuyến tại A cắt BC tại M, vẽ bán kính OI vuông góc BC (I thuộc đường tròn (O)), AI cắt BC tại E. a) Tính BOC và độ dài BC theo R. b) Chứng minh ∆MAE cân. c) Gọi H là hình chiếu của A trên OM. Chứng minh tứ giác OHCB nội tiếp. Phân tích tìm lời giải: A Để chứng minh tứ giác OHCB M nội tiếp ta cần chứng minh điều gì ? Một số học sinh khá, giỏi vẫn H O gặp khó khăn ở bài toán này. Nếu C chúng ta không có phương pháp E thích hợp, sẽ dẫn đến nhìn nhận B sai hướng chứng minh vì khai I thác từ đề bài toán và các giá trị đã chứng minh. 13
14. Ở đây, ta chứng minh hai góc: MHC MBO dựa trên cơ sở hai tam giác đồng dạng. ∆MHA ∆MAO ∆MAB ∆MCA MH MA Lời giải : ∆MHA ∆MAO (g.g) => = => MA2 = MH.MO MA MO MB MA ∆MAB ∆MCA (g.g) => = => MA2 = MB.MC MA MC MH MC => MH.MO = MB . MC => MB MO MH MC Xét ∆MHC và ∆MBO có: và góc M chung => ∆MHC ∆MBO MB MO (c.g.c) MHC MBO ( Hai góc tương ứng ) Xét tứ giác BCHO có: MHC MBO (cmt) và MHC MBO 1800 => MBO CHO 1800 Suy ra tứ giác BCHO nội tiếp đường tròn. (Tổng hai góc đối diện bằng 1800 ) Nhận xét: Ta vẫn sử dụng phương pháp chứng minh trên nhưng để chứng minh hai góc bằng nhau ta dựa vào cơ sở hai tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh góc cạnh, học sinh khó khăn để nhận biết Bài toán 3.4: ( Kiểm tra học kì II năm 2015 – 2016) Cho nửa đường tròn (O), đường kính BC = 2a, A là điểm trên nửa đường tròn, ACB (00 < <900). Đường tròn đường kính AB cắt BC tại D ( D khác B ), tiếp tuyến với đường tròn này ở D cắt AC tại I. Vẽ DE  AB, DF  AC ( E AB, F AC). a) Tính góc AOC theo . b) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp. c) Tính diện tích hình quạt ( Ứng với cung nhỏ AB và đường tròn (O), đường kính BC) và diện tích tam giác AOB. d) Chứng minh rằng: DI là trung tuyến của tam giác ADC. A Tính khi DI // EF. Phân tích tìm lời giải: E O' I F B O D C14
15. Để chứng minh tứ giác BCFE nội tiếp, tương tự như các bài tập trên ta giải quyết như thế nào? Ta có thể chọn góc ngoài bằng góc trong của đỉnh đối diện không? Vậy ta sử dụng góc trung gian ở đây là góc nào? ( ADE ) Với ADE ABC , ta chứng minh như thế nào? Tương tự ADE AFE , ta chứng minh như thế nào? Giáo viên có thể khai thác bài toán theo hướng khác: Ta có thể chứng minh trực tiếp ABC AFE được không? Chứng minh hai góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng được không? Lời giải : Cách 1: Tứ giác AEDF nội tiếp (Tổng hai góc đối diện bằng 1800 ) => ADE AFE ( góc nội tiếp cùng chắn cung AE ) ADB 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’) => ADE ABC ( cùng phụ với góc BDE) Suy ra ABC AFE Xét tứ giác BCFE có: ABC AFE và AFE CFE 1800 ( kề bù) => ABC CFE 1800 => Tứ giác BCFE nội tiếp đường tròn. (Tổng hai góc đối diện bằng 1800 ) Cách 2: Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao cho tam giác vuông ta có: AE.AB = AD2 ; AF.AC = AD2 AE AF => AE.AB = AF.A=> = => ∆AEF ∆ACB (c.g.c) AC AB Suy ra ABC AFE ( hai góc tương ứng ) Xét tứ giác BCFE có: ABC AFE và AFE CFE 1800 (kề bù) => ABC CFE 1800 => Tứ giác BCFE nội tiếp đường tròn. (Tổng hai góc đối diện bằng 1800 ) Bài toán 3.5: Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Lấy điểm D nằm giữa B và C. Qua D vẽ một đường thẳng vuông góc với OD cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh tứ giác AEOF nội tiếp đường tròn. Phân tích tìm lời giải: Để chứng minh tứ giác AEOF nội B tiếp đường tròn, với phương pháp trên ta E chứng minh như thế nào? ( AFO OEB ). Với trường hợp này, ta O A không thể chứng minh hai góc bằng nhau D dựa trên tam giác đồng dạng hay tính chất C F 15
16. của góc với đường tròn. Vậy ta chứng minh như thế nào? AFO ? ; OEB ? Ta có thể sử dụng góc trung gian nào có thể? ( ODB ) Vì sao các cặp góc này bằng nhau? Lời giải : Tứ giác ODEB nội tiếp (Tổng hai góc đối diện bằng 1800 ) => ODB OEB (góc nội tiếp cùng chắn cung OB) Tứ giác ODCF nội tiếp một đường tròn. => ODB OFC (cùng bù với góc ODC) Suy ra: AFO OEB Xét tứ giác AEOF có AFO OEB và AFO OEB 1800 => Tứ giác AEOF nội tiếp đường tròn. (Tổng hai góc đối diện bằng 1800 ) Nhận xét: Với dạng toán này đòi hỏi học sinh phải biết nhìn nhận cặp góc bằng nhau một cách tổng quát, ta có thể dựa trên nhiều cơ sở (hai góc của hai tam giác đồng dạng, góc trung gian, dựa vào tính chất của tứ giác nội tiếp...). Giáo viên cần cho học sinh tự nhìn nhận đánh giá từng loại góc, những cơ sở từ đề, hay từ kết quả của bài tập đã chứng minh, từ đó học sinh sẽ rút ra được phương pháp chung cho dạng toán chứng minh tứ giác nội tiếp này. Dạng 4: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc . Phương pháp: Nếu có hai đình liên tiếp cùng nhìn một đoạn thẳng dưới những góc bằng nhau thì tứ giác chứa các điểm đó cùng thuộc một đường tròn (Quỹ tích cung chứa góc). Kiến thức cần dùng ở đây là bài: “ Quỹ tích cung chứa góc”. Đây là một vấn đề mà hầu hết học sinh ngại chứng minh, do vậy chúng ta cần nâng dần mức độ để học sinh có kỹ năng chứng minh. Bài toán 4.1: Cho tam giác ABC, kẻ các đường cao BH, CK. Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp đường tròn. Phân tích tìm lời giải: Với yêu cầu bài toán, ta có A thể nhận thấy được tứ giác BCHK cùng thuộc đường tròn đường kính BC? (Theo bài toán quỹ tích cung K chứa góc) H Lời giải : Ta có BH là đường cao của ∆ABC nên BHC 900 B O C và CK là đường cao của ∆ABC nên BKC 900 . Xét tứ giác BCHK có BHC 900 và BKC 900 Ta có hai điểm H và K nhìn đoạn thẳng BC dưới một góc vuông => Tứ giác BCHK nội tiếp đường tròn đường kính BC (Quỹ tích cung chứa góc). 16
17. Nhận xét: Với dạng toán này ta cần chứng minh hai góc bằng nhau và cùng nhìn đoạn thẳng. Bài toán 4.2: Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Gọi EF là tiếp A tuyến chung của hai đường tròn (E (O), O F (O’)). AB cắt EF tại I. O' a) Chứng minh ∆IEA ∆IBE và B IE2 = IA.IB I b) Gọi C là điểm đối xứng của B qua I. E F C Chứng minh tứ giác BECF nội tiếp. Phân tích tìm lời giải: Vậy để chứng minh tứ giác AECF nội tiếp ta cần chứng minh hai góc bằng nhau và cùng nhìn đoạn thẳng nào? ( EAC EFC ) Khai thác đề bài toán ta có thể chứng minh EAC BEF ? Ta có thể sử dụng góc trung gian BEF được không? Như vậy ta cần chứng minh ∆BEI = ∆CFI Giáo viên có thể gợi ý học sinh chứng minh I là trung điểm EF. Lời giải : Xét đường tròn (O) có EAC EFC ( cùng chắn cung BE ) (1) Ta có: ∆IEA ∆IBE (g.g) và IE2 = IA.IB Ta có: ∆IFB ∆IAF (g.g) và IF2 = IA.IB => IE2 = IF2 => IE =IF Xét ∆BEI và ∆CFI có: IE =IF ; IB = IC và BIE CIF ( đối đỉnh) => ∆BEI = ∆CFI ( c.g.c) => BEI CFI (2) Từ (1) và (2) => EAC EFC . Xét tứ giác BECF có: EAC EFC Ta có hai điểm A và F liên tiếp cùng nhìn đoạn thẳng EC dưới những góc bằng nhau nên tứ giác BECF nội tiếp đường tròn. ( Quỹ tích cung chứa góc) M Bài toán 4.3: Cho ABC cân ở A nội tiếp (O). Trên tia A đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM=CN. Chứng minh tứ giác AMNO nội tiếp. O Phân tích tìm lời giải: Tương tự như bài tập 4.2, ta có B C thể chứng minh hai góc nào bằng nhau? ( N AMO ANO ). Ta có thể chứng minh hai tam giác có chứa hai góc này bằng nhau được không? Nhận xét gì về tia AO? ( Tia phân giác) Lời giải : ∆ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) nên AO là đường trung trực vừa là phân giác nên BAO CAO . 17
18. ∆OAC cân tại O (OA = OC) => OCA CAO . => BAO ACO => OAM OCN ( kề bù với hai góc bằng nhau) Xét ∆AOM và ∆CON có: OA = OC (bán kính); OAM OCN ( chứng minh trên); AM = CN(gt) =>∆AOM = ∆CON (c.g.c) => AMO ANO (hai góc tương ứng ) Xét tứ giác AMNO có: AMO ANO Ta có hai điểm M và N liên tiếp cùng nhìn đoạn thẳng OA dưới các góc bằng nhau nên tứ giác AMNO nội tiếp đường tròn (Quỹ tích cung chứa góc ). Bài toán 4.4: Cho đường tròn (O; R) Và điểm A nằm ngoài (O; R). Đường tròn đường kính AO cắt đường tròn (O; R) tại M và N. Đường thẳng d qua A cắt (O; R) tại B và C ( d không đi qua O; điểm B nằm giữa A và C). Gọi H là trung điểm của BC. a) Chứng minh: AM là tiếp tuyến của (O; R) và H thuộc đường tròn đường kính AO. b) Đường thẳng qua B vuông góc với OM cắt MN ở D và cắt MC tại E. Chứng minh rằng: Tứ giác BDNH nội tiếp. c) Đường thẳng DH song song với đường thẳng MC. d) Chứng minh E là trung điểm MC. Phân tích tìm lời giải: Để chứng minh tứ giác BDHN nội tiếp ta cần chứng minh cặp góc nào bằng nhau? ( HBD HND ). Ta có thể dựa vào góc trung gian nào? MAB HBD dựa trên cơ sở nào? Vì sao MAB MNH ? Lời giải : Xét đường tròn đường kính AO có: MAB MNH (1) ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung MH) Lại có BD  OM (gt) và AM  OM (tính chất tiếp tuyến ) M E BD // AM ( từ vuông góc đến song D C song) B H MAB HBD (2) ( hai góc đồng vị) A O Từ (1), (2) suy ra HBD HND Xét tứ giác tứ giác BDHN có HBD HND N Ta có hai điểm B và N cùng nhìn đoạn thẳng DH dưới các góc bằng nhau => Tứ giác BDHN nội tiếp đường tròn ( quỹ tích cung chứa góc) . Dạng 5: Sử dụng điểm trung gian đề chứng minh tứ giác nội tiếp. Phương pháp: Ngoài những dạng toán cơ bản trên, để chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn ta có thể sử dụng các đỉnh trung gian để chứng minh tứ giác nội tiếp. 18
19. Bài toán 5.1: Từ một điểm S nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến SA, SB A ( A, B là tiếp điểm ), cát tuyến SCD ( C D nằm giữa S và D). Gọi H là trung điểm C H CD. S O Chứng minh các điểm A, B, O, H cùng thuộc một đường tròn. Phân tích tìm lời giải: Mức độ bài B toán này khó hơn là chúng ta không thể chứng minh bằng các phương pháp cơ bản đã trình bày. Học sinh không biết bắt đầu từ đâu? Giáo viên có thể gợi mở bằng cách cho học sinh có nhận xét gì về điểm S không? Như vậy yêu cầu bài toán bây giờ là chứng 5 điểm cùng thuộc một đường tròn. Bây giờ bài toán lại quay về dạng cơ bản. Lời giải : Xét tứ giác SAOB có: SA, SB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên SAO SBO 900 => SAO SBO 900 900 1800 . Suy ra tứ giác SAOB nội tiếp đường tròn đường kính SO. (1) ( Tổng hai góc đối diện bằng 1800 ) Xét đường tròn (O) có H là trung điểm CD nên OH  CD nên SHO 900 Xét tứ giác SHOB có SHO SBO 900 900 1800 . Suy ra tứ giác SHOB nội tiếp đường tròn đường kính SO. (2) ( Tổng hai góc đối diện bằng 1800 ) Từ (1) và (2) => S, A, O, B, H cùng thuộc đường tròn đường kính SO. Suy ra A, O, B, H cùng thuộc đường tròn đường kính SO. Bài toán 5.2: Trên ( O;R ) lấy 2 điểm A, B sao cho AB < 2R. Gọi giao điểm của các tiếp tuyến của (O) tại A, B là M. Qua A, B kẻ dây AC, BD song song với nhau. Gọi giao điểm của các dây AD, BC là N. Chứng minh tứ giác AMBN nội A tiếp trong một đường tròn. M Phân tích tìm lời giải: Vẫn xây dựng như C bài toán 5.1, để chứng minh tứ giác O MANB nội tiếp học sinh gặp khó khăn về N lý luận khi tính số đo của các góc theo số B đo cung. Giáo viên có thể hướng dẫn học D sinh khai thác điểm O là điểm trung gian. Lời giải : Xét đường tròn (O) có AC / / BD nên AB = CD 19
20. 1 1 => ANB = sđAB+ sđCD= sđAB ( góc có đỉnh ở bên trong đường tròn) 2 2 AOB sđAB ( góc ở tâm) => ANB AOB . Xét tứ giác OABN có ANB AOB . Ta có hai điểm O và N liên tiếp cùng nhìn đoạn thẳng AB dưới các góc bằng nhau => Tứ giác OABN nội tiếp đường tròn. (1)( Quỹ tích cung chứa góc) Xét tứ giác MAOB có: MA, MB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên MAO MBO 900 => MAO MBO 900 900 1800 Suy ra tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn đường kính MO. (2) (Tổng hai góc đối diện bằng 1800 ) Từ (1) và (2) => Tứ giác MANB nội tiếp đường tròn ( vì cùng chung các điểm O, A, B) Dạng 6: Bài toán ứng dụng tứ giác nội tiếp đề chứng minh đẳng thức kép. Với dạng toán chứng minh đẳng thức kép, không ít học sinh giỏi gặp nhiều khó khăn. Mà dạng toán này có rất nhiều ở các kì thi học sinh giỏi các cấp. Để giải dạng toán này, chúng ta thường nhìn nhận vấn đề theo bài toán. “ Phương tính” ( Đẳng thức mà tứ giác nội tiếp có được ), kết quả này chỉ học ở cấp THPT hay chăng là các học sinh bồi dường HSG huyện. Kết quả được sử dụng theo cách suy luận nhưng phải chứng minh bằng tam giác đồng dạng mới dùng được. Bài toán 6.1: Cho tam giác ABC, kẻ các đường cao BD, CE. Gọi H là giao điểm của BD và CE. Chứng minh: BE. AB + CD. AC = BC2 . Phân tích tìm lời giải: A Để có được kết quả BE. BA = a.b ta cần D một tứ giác nội tiếp nhưng phải có chứa cạnh E H O' BC? Tương tự CD.CA = c.d cũng vậy? Làm O thế nào để thỏa mãn hai vấn đề đó? Giáo viên B C gợi mở học sinh kẻ đường cao thứ 3 (AK). K Vậy theo tích chất của tứ giác nội tiếp ta sẽ có được kết quả nào? BE. BA=BK.BC; CD.CA=CK.CB ( Chứng minh bằng tam giác đồng dạng) Lời giải : Kẻ đường thẳng AH cắt BC tại K. H là trực tâm ∆ABC nên AK  BC => AKB AKC 900 BK BA A ∆BKA ∆BEC (g.g) => = BE BC O B N =>BE. BA=BK.BC (1) C D H 20 M