SKKN Rèn luyện kĩ năng giải các dạng Toán về hàm số bậc nhất Toán 9

Nội dung tài liệu: SKKN Rèn luyện kĩ năng giải các dạng Toán về hàm số bậc nhất Toán 9

1. A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Như chúng ta đã biết hàm số bậc nhất là một trong những nội dung rất quan trọng trong chương trình Toán THCS nói chung và lớp 9 nói riêng. Các dạng toán về hàm số bậc nhất giữ vai trò rất quan trọng trong chương trình Toán 9 và luôn có mặt trong đề thi vào lớp 10 THPT, chiếm tỉ lệ 20% về số điểm của bài thi. Qua thực tế nhiều năm giảng dạy lớp 9, giảng dạy về hàm số bậc nhất tôi nhận thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn, còn lúng túng, mắc sai sót trong quá trình giải các dạng toán về hàm số bậc nhất, đặc biệt là các bài toán mà hàm số bậc nhất chứa tham số. Nguyên nhân chính dẫn đến vấn đề trên là do các em không nắm chắc lí thuyết và việc rèn luyện kỹ năng giải toán chưa nhiều. Theo tôi để khắc phục những hạn chế nói trên thì việc ôn tập kiến thức cơ bản và rèn luyện kỹ năng giải toán là hết sức cần thiết. Vấn đề đặt ra cho người giáo viên là giảng dạy như thế nào để học sinh dễ tiếp thu, nắm chắc kiến thức, vận dụng kiến thức cơ bản vào giải toán. Giảng dạy như thế nào để phù với nhiều đối tượng học sinh, từng đối tượng học sinh. Đó là điều bản thân tôi luôn trăn trở, tìm tòi trong quá trình giảng dạy và muốn được chia sẻ, trao đổi với các đồng nghiệp. Vì thế tôi đưa ra các giải pháp mà tôi đã thực hiện qua đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải các dạng toán về hàm số bậc nhất”. II. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI 1. Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 9. 2. Phạm vi nghiên cứu: Chương II: Hàm số bậc nhất - Đại số 9 và các dạng toán về hàm số bậc nhất. III. MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI 1. Mục tiêu nghiên cứu: - Cũng cố, khắc sâu kiến thức cơ bản về hàm số bậc nhất. - Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải các dạng toán về hàm số bậc nhất. - Tháo gỡ những khó khăn, vướng mắc, sai lầm khi giải toán về hàm số bậc nhất. - Thông qua việc giải toán học sinh thấy được mục đích của học tập toán đồng thời giúp học sinh nâng cao trí tuệ, chất lượng đại trà, đạt kết quả cao trong kì thi vào lớp 10 THPT. 2. Nhiệm vụ nghiên cứu: - Kiến thức cơ bản về hàm số bậc nhất. - Các dạng toán cơ bản về hàm số bậc nhất.và phương pháp giải các dạng toán đó. - Kỹ năng giải các dạng toán về hàm số bậc nhất của học sinh lớp 9B. IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI - Nghiên cứu sách giáo khoa, sách bài tập, tài liệu tham khảo. - Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy chính khóa và ôn thi vào 10 THPT. - Nghiên cứu qua các bài kiểm tra. - Tham khảo ý kiến và trao đổi với đồng nghiêp. V. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC 1
2. Nâng cao chất lượng dạy – học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng đề tài giúp cho giáo viên dạy có hiệu quả, học sinh hứng thú học và giải thành thạo về các dạng toán về hàm số bậc nhất hơn. VI. DỰ BÁO ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI Đề tài được áp dụng sẽ mang lại hiệu quả không nhỏ trong việc nâng cao chất lượng đại trà và thi vào 10 THPT. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. CƠ SỞ KHOA HỌC 1. Cơ sở lí luận: Trước sự phát triển mạnh mẽ của nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông tin như hiện nay, nền giáo dục đào tạo nước ta đang đứng trước những thời cơ và thách thức mới. Để hòa nhập với tiến độ phát triển đó thì giáo dục và đào tạo luôn đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “ đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng và nhà nước đề ra. Là giáo viên ai cũng muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học. Một vấn đề được đặt ra cho người giáo viên là phải dạy học như thế nào để học sinh không những nắm vững nội dung kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải rèn luyện khả năng tư duy lôgic, rèn luyện kỹ năng làm bài tập của bộ môn toán cũng như các môn khoa học khác. Có thái độ, quan điểm rõ ràng trong các bài tập của mình để tạo được sự hứng thú, say mê trong học tập, tiếp thu kiến thức và có thể đưa các kiến thức đó ra áp dụng vào cuộc sống đời thường. Đối với việc học toán thì việc rèn luyện kỹ năng giải toán là hết sức cần thiết, cần phải rèn luyện thường xuyên kỹ năng giải toán bằng nhiều cách, giải nhiều bài tập thuộc nhiều dạng khác nhau và sau đó tự mình suy nghĩ rồi rút ra bài học kinh nghiệm. Trước khi giải một bài toán, nên tìm hiểu xem bài toán thuộc loại nào? dạng nào? Sau đó tư duy chọn phương pháp giải cho thích hợp, có định hướng cho phương pháp giải đó. Hình thành và phát triển tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo trong dạy-học toán là một quá trình lâu dài và được biểu hiện qua những mặt sau: - Biết tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục tư tưởng rập khuôn máy móc. - Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận kiến thức ở nhiều khía cạnh. - Phải có hoài nghi khoa học và luôn đặt ra các câu hỏi tai sao?, do đâu?, như thế nào?. - Có khả năng tự nhận thấy vấn đề, tự giải quyết vấn đề, khai thác vấn đề mới từ những vấn đề đã biết. Thông qua môn toán, học sinh tiếp cận và tiếp thu các môn học tự nhiên khác, bởi dạy môn toán cho học sinh không những truyền thụ kiến thức cho các em mà quan trọng hơn là dạy cách tự học, phát triển tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo. 2. Cơ sở thực tiễn: 2
3. Đối với học sinh trường THCS rất nhiều các em học sinh còn yếu về môn toán và sợ học toán, với nhiều lí do khác nhau, điều này hạn chế rất lớn đến việc phát huy tính tích cực và độc lập nhận thức khi giải toán của học sinh, dẫn đến các em không ham học toán và không tự tin khi giải toán, lúng túng trong lí luận và trình bày. Trong khi đó các dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn là một phần rất quan trọng trong chương trình Toán 9 và đề thi vào lớp 10 THPT. Một số giáo viên chưa định hướng, xây dựng cho học sinh thói quen học tập và lòng yêu thích môn học, chưa xây dựng phương pháp học tập tốt và kỹ năng giải toán cho học sinh, dạy học đổi mới chưa triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, ứng dụng công nghệ thông tin. Không ít phụ huynh chưa thật sự quan tâm đến việc học tập của con em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà. Giữ mối liên lạc với nhà trường chưa thường xuyên, việc theo dõi nắm bắt thông tin kết quả học tập của con em mình chưa kịp thời và chưa hiệu quả. II. THỰC TRẠNG VỀ CHẤT LƯỢNG HỌC SINH Qua quá trình giảng dạy chính khóa và tham gia dạy ôn thi vào 10 THPT cho học sinh lớp 9, tôi nhận thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn, lúng túng, có nhiều sai sót trước những bài toán về hàm số bậc nhất. Cụ thể tôi đã khảo sát 33 em học sinh lớp 9B với đề bài như sau: Câu 1: Cho đường thẳng (d): y = -2x + 6 và (d’): y = x – 3 a) Vẽ (d) và (d’) trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy. b) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (d’) bằng phương pháp đại số. Câu 2: Cho đường thẳng (d): y = (m – 2)x – 2m +1 (với m là tham số) a) Tìm m để (d) đi qua A(3; -2). b) Tìm m để (d) song song với đường thẳng (d’): y = 2x – 5 Cho kết quả là: Số học sinh khảo sát Kết quả đạt được 33 Giỏi (%) Khá (%) TB (%) Yếu (%) 6,0 (2/33) 12,0 (4/33) 24,4 (8/33) 57,6 (17/33) III. GIẢI PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Giải pháp 1: Trang bị kiến thức cơ bản: 1.1. Hàm số bậc nhất: 1.1.1. Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho trước và a 0. 1.1.2. Tính chất: Hàm số bậc nhất y = ax + b (a 0) xác định với mọi giá trị thuộc R, có tính chất sau: - Đồng biến trên R, khi a > 0. - Nghịch biến trên R, khi a < 0. 3
4. 1.1.3. Đồ thị: Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) là một đường thẳng: - Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b. - Song song với đường thẳng y = ax, nếu b 0; trùng với đường thẳng y = ax, nếu b=0. 1.1.4. Cách vẽ đồ thị: * y = ax (a 0, b = 0). B1: Cho x = 1 thì y = a, ta có M (1; a). B2: Biểu diễn điểm M trên mặt phẳng tọa độ Oxy. B3: Vẽ đường thẳng đi qua điểm O và M ta được đồ thị hàm số y = ax. * y = ax + b (a 0, b 0) B1: Cho x = 0 thì y = b, ta có A (0; b). b b y = 0 thì x = , ta có B ( ; 0). a a B2: Biểu diễn các điểm A và B trên mặt phẳng tọa độ Oxy. B3: Vẽ đường thẳng đi qua A và B ta được đồ thị hàm số y = ax + b. 1.2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Đường thẳng y = ax + b (a 0) và đường thẳng y = a’x + b’ (a’ 0): - Cắt nhau a a’. - Song song với nhau a = a’; b b’. - Trùng nhau a = a’; b = b’. - Vuông góc với nhau a.a’= -1. 1.3. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a 0): - Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a 0) là hệ số a. - Nếu a > 0 thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc nhọn, a < 0 thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tù. - Với a > 0, ta có: Tan = a ( là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox, a là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b). 2. Giải pháp 2: Các dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn. 2.1. Dạng 1: Xác định hàm số bậc nhất; hệ số a, b; hàm số đồng biến, nghịch biến đối với hàm số bậc nhất không chứa tham số. * Bài toán: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất ? Trong các hàm số bậc nhất, hãy xác định hệ số a, b và xét xem hàm số bậc nhất nào đồng biến, nghịch biến. a) y = 2x – 7 b) y = 3x2 + 5 c) y = 3 – 2x 2 d) y = - x e) y = 4 f) y = 3x 10 x x g) y = 3x 1 h) y = 8 i) y = 3(x 1) 2 2 Hướng dẫn cách giải: Một hàm số là hàm số bậc nhất thì phải có dạng y = ax + b; a, b là các số cho trước và a 0. Hàm số bậc nhất đồng biến khi a>0, nghịch biến khi a<0. Từ hướng dẫn trên học sinh đã tìm được cách giải bài toán như sau: Giải: Các hàm số bậc nhất là: 4
5. a) y = 2x – 7 , có hệ số a = 2, b = -7. Là hàm số đồng biến (a = 2 > 0). c) y = 3 – 2x , có hệ số a = -2, b = 3. Là hàm số nghịch biến (a = -2 < 0). d) y = - x , có hệ số a = -1, b = 0. Là hàm số nghịch biến (a = -1 < 0). g) y = 3x 1 , có hệ số a = 3 , b = -1. Là hàm số đồng biến (a = 3 > 0). x 1 1 1 h) y = 8 = x 8 , có hệ số a = , b = -8. Là hàm số đồng biến (a = > 0). 2 2 2 2 i) y = 3(x 1) 2 = 3x 3 2 , có hệ số a = 3 , b = 3 2 . Là hàm số đồng biến (a = 3 > 0). Lưu ý: - Đối với hàm số bậc nhất ở dạng chính tắc (y = ax + b) thì hệ số a là số, biểu thức nhân với biến; hệ số b là số, biểu thức còn lại. - Đối với hàm số bậc nhất chưa ở dạng chính tắc thì phải biến đổi về dạng chính tắc rồi mới xác định hệ số a, b. 2.2. Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số (đường thẳng) y = ax + b (a 0). * Bài toán 1: Vẽ đồ thị của các hàm số sau: 1 a) y = -3x b) y = x 2 1 c) y = x – 2 d) y = -2x + 5 3 Hướng dẫn cách giải: Đối với câu a), câu b) ta xác định một điểm thuộc đồ thị khác gốc tọa độ rồi biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ Oxy sau đó vẽ đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm đó. Đối với câu c), câu d) ta xác định hai điểm giao của đồ thị hàm số với các trục tọa độ rồi biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ sau đó vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó. Từ hướng dẫn trên học sinh đã tìm được cách giải bài toán như sau: Giải: a) cho x = 1 thì y = -3, ta có A(1; -3) y O 1 x -3 A y = -3x b) Cho x = 2 thì y = 1, ta có B(2; 1) y 1 B y = x 1 2 O 2 x 5
6. 1 y y = x - 2 c) Cho x = 0 thì y = -2, ta có C(0; -2) 3 O D Cho y = 0 thì x = 6, ta có D(6; 0) 6 x -2 C y 5 M d) Cho x = 0 thì y = 5, ta có M(0; 5) 5 5 Cho y = 0 thì x = , ta có N( ; 0) 2 2 N O 5 3 x 2 y = -2x + 5 * Bài toán 2: a) Vẽ đồ thị hàm số (d):y = x – 3 và (d’): y = 3x + 3 trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy. b) Vẽ đường thẳng (d) y = – x – 3 và (d’) y = 2x + 6 trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy. Giải: a) * y = x – 3 y y = 3x + 3 Cho x = 0 thì y = -3, ta có A(0; -3) 3 C y = 0 thì x = 3, ta có B(3; 0) * y = 3x + 3 y = x - 3 Cho x = 0 thì y = 3, ta có C(0; 3) D B y = 0 thì x = -1, ta có D(-1; 0) -1 O 3 x -3 A y y = 2x + 6 6 C b) * y = -x – 3 Cho x = 0 thì y = -3, ta có A(0; -3) y = 0 thì x = -3, ta có B(-3; 0) * y = 2x + 6 Cho x = 0 thì y = 6, ta có C(0; 6) y = 0 thì x = -3, ta có D(-3; 0) D  B -3 O x A -3 y = -x - 3 6
7. Lưu ý: - Vẽ đúng mặt phẳng tọa độ Oxy; xác định đúng hệ số a, b của hàm số (đường thẳng); biểu diễn đúng điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy. - Đối với đối tượng học sinh yếu thi nên hướng dẫn học sinh vẽ đường thẳng y = ax + b b (a 0, b 0) biểu diễn điểm b trên trục tung, điểm trên trục hoành rồi vẽ đường thẳng a đi qua 2 điểm đó. 2.3. Dạng 3: Xác định điểm cho trước, thuộc hay không thuộc đường thẳng. *Bài toán: a) Điểm A(2; 3), B(-1; 7) có thuộc đồ thị hàm số y = -2x + 5 không? Vì sao?. b) Đường thẳng y = 5 – 3x đi qua điểm nào sau đây? Vì sao?: M(-2; 11), N(3; -1). Hướng dẫn cách giải: Đường thẳng đi qua một điểm hay một điểm thuộc đường thẳng thì tọa độ của điểm đó thỏa phương trình đường thẳng có nghĩa thay x bằng hoành độ của điểm đó để tính y, nếu y bằng tung độ của điểm đó thì điểm đó thuộc đường thẳng còn y không bằng tung độ của điểm đó thì điểm đó không thuộc đường thẳng. Từ hướng dẫn trên học sinh đã tìm được cách giải bài toán như sau: Giải: a) Với x = 2, ta có y = -2.2 + 5 = -4 + 5 = 1 khác tung độ của A. Vậy A(2; 3) không thuộc đồ thị hàm số y = -2x + 5. Với x = -1, ta có y = -2.(-1) + 5 = 2 + 5 = 7 bằng tung độ của B. Vậy B(-1; 7) thuộc đồ thị hàm số y = -2x + 5. b) Với x = -2, ta có y = 5 – 3.(-2) = 5 + 6 = 11 bằng tung độ của M. Vậy đường thẳng y = 5 – 3x đi qua M(-2; 11). Với x = 3, ta có y = 5 – 3.3 = 5 - 9 = -4 khác tung độ của N. Vậy đường thẳng y = 5 – 3x không đi qua N(3; -1). Lưu ý: - Thay x bằng hoành độ của điểm đó để tính y chứ không phải thay x bằng tung độ để tính y. - Có thể giải bài toán bằng cách: Thay x bằng hoành độ, y bằng tung độ vào phương trình đường thẳng (công thức hàm số) nếu giá trị của vế trái bằng giá trị vế phải thì điểm đó thuộc đường thẳng còn giá trị của vế trái không bằng giá trị vế phải thì điểm đó không thuộc đường thẳng. 2.4. Dạng 4: Xác định điểm thuộc đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước. *Bài toán 1: Cho đường thẳng (d) : y = 2x + 1 a) Xác định điểm thuộc đường thẳng (d) có hoành độ bằng 2. b) Xác định điểm thuộc đường thẳng (d) có tung độ bằng -11. Hướng dẫn cách giải: Xác định điểm thuộc đường thẳng khi biết hoành độ thì ta thay giá trị hoành độ đó vào x để tính y, cặp số (x; y) đó chính là tọa độ của điểm cần tìm. Xác định điểm thuộc đường thẳng khi biết tung độ thì ta thay giá trị tung độ đó vào y để tính x, cặp số (x; y) đó chính là tọa độ của điểm cần tìm. Từ hướng dẫn trên học sinh đã tìm được cách giải bài toán như sau: Giải: a) Với x = 2, ta có y = 2.2 + 1 = 4 + 1 = 5. Vậy điểm thuộc đường thẳng (d) có hoành độ bằng 2 là A(2; 5). 7
8. b) Với y = -11, ta có 2x + 1 = -11 2x = -12 x = -6. Vậy điểm thuộc đường thẳng (d) có tung độ bằng -11 là B(-6; -11). * Bài toán 2: Cho đường thẳng (d) : y = 2x – 3 a) Xác định điểm thuộc đường thẳng (d) cách đều hai trục tọa độ. b) Xác định điểm thuộc đường thẳng (d) có khoảng cách đến trục tung bằng 2 lần khoảng cách đến trục hoành. c) Xác định điểm thuộc đường thẳng (d) có khoảng cách đến trục hoành bằng 3 lần khoảng cách đến trục tung. Hướng dẫn cách giải: Điểm cách đều hai trục tọa có nghĩa khoảng cách từ điểm đó đến hai trục tọa độ bằng nhau hay tung độ và hoành độ của điểm đó bằng nhau hoặc đối nhau. Còn điểm có khoảng cách đến trục tung bằng 2 lần khoảng cách đến trục hoành có nghĩa hoành độ bằng 2 lần tung độ hoặc bằng âm 2 nhân với tung độ; điểm có khoảng cách đến trục hoành bằng 3 lần khoảng cách đến trục tung có nghĩa tung độ bằng 3 lần hoành độ hoặc bằng âm 3 nhân với hoành độ. Từ hướng dẫn trên học sinh đã tìm được cách giải bài toán như sau: Giải: a) Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc (d) cách đều hai trục tọa độ, ta có: y0 x0 y0 x0 y0 3 x0 2x0 3 x0 3 x0 3 . Vậy điểm thuộc (d) cách đều hai trục tọa độ y0 x0 y0 x0 y0 1 x0 2x0 3 3x0 3 x0 1 là M(3; 3), M(1; -1). b) Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc (d) có khoảng cách đến trục tung bằng 2 lần khoảng cách đều trục hoành, ta có: 1 1 y0 x0 y0 x0 2 2 y0 1 1 3 x 2 x 2x 3 x 3 0 0 0 0 2 2 3 . Vậy điểm thuộc (d) cách đều hai trục tọa y0 1 1 5 y0 x0 y0 x0 2 2 6 x 1 5 0 x 2x 3 x 3 5 2 0 0 2 0 6 3 độ là M(2; 1), M( ; - ). 5 5 c) Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc (d) có khoảng cách đến trục hoành bằng 3 lần khoảng cách đều trục tung, ta có: 8
9. y0 9 y0 3x0 y0 3x0 x 3 0 3x 2x 3 x 3 0 0 0 9 y . Vậy điểm thuộc (d) cách đều hai trục tọa độ y 3x y 3x 0 0 0 0 0 5 3x0 2x0 3 5x0 3 3 x0 5 3 9 là M(-3; -9), M( ; ). 5 5 Lưu ý: Bài toán 2 chỉ dành cho đối tượng học sinh khá, giỏi. 2.5. Dạng 5: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng. *Bài toán 1: a) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số bậc nhất y = x – 3 và y = 3x + 3. b) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = – x – 3 và y = 2x + 6. c) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng y = – 3x – 3 và y = 2x + 5. Hướng dẫn cách giải: Để tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y = f(x) và y = g(x) ta tìm hoành độ giao của hai đường thẳng (nghiệm của phương trình f(x) = g(x)) rồi thay x bằng hoành độ vừa tìm được vào y = f(x) hoặc y = g(x) để tìm y là tung độ của giao điểm. Từ hướng dẫn trên học sinh đã tìm được cách giải bài toán như sau: Giải: a) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số bậc nhất y = x – 3 và y = 3x + 3 là nghiệm của phương trình: x – 3 = 3x + 3 -2x = 6 x = -3. Tung độ giao điểm của đồ thị hàm số bậc nhất y = x – 3 và y = 3x + 3 là y = -3 – 3 = -6. Vậy tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số bậc nhất y = x – 3 và y = 3x + 3 là (-3; -6) b) Hoành độ độ giao điểm của đồ thị hàm số y = – x – 3 và y = 2x + 6 là nghiệm của phương trình: -x – 3 = 2x + 6 -3x = 9 x = -3. Tung độ giao điểm của đồ thị hàm số y = – x – 3 và y = 2x + 6 là y = -(-3) – 3 = 0. Vậy tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = – x – 3 và y = 2x + 6 là (-3; 0) c) Hoành độ độ giao điểm của đường thẳng y = – 3x – 3 và y = 2x + 5 là nghiệm của 8 phương trình: -3x – 3 = 2x + 5 -5x = 8 x = 5 8 9 Tung độ giao điểm của đường thẳng y = – 3x – 3 và y = 2x + 5 là y = -3. – 3 = . 5 5 8 9 Vậy tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số bậc nhất y = -3x – 3 và y = 2x + 5 là ( ; ). 5 5 * Bài toán 2: Gọi giao điểm của đường thẳng y = 2x + 4 và y = -x + 7 với trục Ox lần lượt là M, N. Giao điểm giữa hai đường thẳng là P. Tìm tọa độ của M, N, P. Hướng dẫn cách giải: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và trục Ox ta thay y = 0 vào phương trình đường thẳng để tính x, còn tìm tọa độ giao điểm giữa hai đường thẳng ta là như bài toán 1. Từ hướng dẫn trên học sinh đã tìm được cách giải bài toán như sau: Giải: Hoành giao điểm của đường y = 2x + 4 với trục Ox là nghiệm của phương trình 2x +4 = 0 2x = -4 x = -2. Vậy M (-2; 0). Hoành giao điểm của đường y = -x + 7 với trục Ox là nghiệm của phương trình 9
10. -x +7 = 0 -x = -7 x = 7. Vậy N (7; 0). Hoành độ độ giao điểm của đường thẳng y = 2x + 4 và y = -x + 7 là nghiệm của phương trình: 2x + 4 = -x + 7 3x = 3 x = 1. Tung độ giao điểm của đồ thị hàm số bậc nhất y = 2x + 4 và y = -x + 7 là y = 2.1 + 4 = 6. Vậy P(1; 6). Lưu ý: Sau đã học học hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn, có thể giải cách khác: Hoành độ, tung độ giao điểm là nghiệm của hệ gồm 2 phương trình đường thẳng đã cho, giải hệ phương trình đó sẽ tìm được tọa độ giao điểm. 2.6. Dạng 6: Tìm giá trị của tham số để hàm số bậc nhất, đường thẳng y=ax+b thỏa mãn điều kiện cho trước. * Bài toán 1: a) Tìm m để hàm số bậc nhất y = (2m – 6)x + 7 đồng biến. b) Tìm m để hàm số bậc nhất y = (5 – 3m)x – m + 4 nghịch biến. Hướng dẫn cách giải: Ta đã biết hàm số bậc nhất đồng biến trên R, khi a > 0; nghịch biến trên R, khi a < 0. Từ hướng dẫn trên học sinh đã tìm được cách giải bài toán như sau: Giải: a) Hàm số bậc nhất y = (2m – 3)x + 7 đồng biến khi: 2m – 6 > 0 2m > 6 m > 3 Vậy m > 3 thì hàm số bậc nhất y = (2m – 3)x + 7 đồng biến. b) Hàm số bậc nhất y = (5 – 3m)x – m + 4 nghịch biến khi: 5 – 3m < 0 -3m < -5 5 5 m > . Vậy m > thì hàm số bậc nhất y = (5 – 3m)x – m + 4 nghịch biến. 3 3 Lưu ý: - Xác định đúng hệ số a, b của hàm số bậc nhất. - Khi nhân hay chia hai vế của bất phương trình cho một số âm thì bất phương trình đổi chiều. * Bài toán 2: a) Cho đường thẳng y = 2x + b. Tìm b biết đường thẳng đi qua A(2; 5). b) Tìm a để đường thẳng y = ax – 3 đi qua điểm B(-2; 3). Hướng dẫn cách giải: Đối với bài toán tìm giá trị của tham số để đường thẳng đi qua một điểm thì ta thay tọa độ của điểm đó (thay hoành độ vào x, tung độ vào y) được phương trình với ẩn là tham số, giải phương trình sẽ tìm được giá trị của tham số. Từ hướng dẫn trên học sinh đã tìm được cách giải bài toán như sau: Giải: a) Vì đường thẳng y = 2x + b đi qua A(2; 5) nên ta có: 2.2 + b = 5 4 + b = 5 b = 1. Vậy b = 1 thì đường thẳng y = 2x + b đi qua A(2; 5). b) Để đường thẳng y = ax – 3 đi qua B(-2; 3) thì: a.(-2) – 3 = 3 -2a – 3 = 3 -2a = 6 a = -3. Vậy a = -3 thì đường thẳng y = ax – 3 đi qua A(-2; 3). * Bài toán 3: a) Cho hàm số bậc nhất y = (m – 2)x – 2m + 1. Tìm m để đồ thị hàm số đi qua A(-2; 3). b) Tìm m biết đồ thị hàm số y = (2m – 1)x + m – 3 đi qua B(3; 1) c) Tìm m để đường thẳng y = (2 – 3m)x – m + 5 đi qua C(-1; 3). d) Tìm m biết đường thẳng y = (m – 2)x – 2m + 1 đi qua gốc tọa độ. Hướng dẫn cách giải: Đối với câu a), b), c) ta thực hiện như bài toán 2, câu a) có thêm điều kiện hệ số a khác 0, còn câu d) đường thẳng đi qua gốc tọa độ có nghĩa đường thẳng 10
11. đi qua điểm O(0; 0) hay đường thẳng đó có hệ số b = 0 (dạng y =ax). Từ hướng dẫn trên học sinh đã tìm được cách giải bài toán như sau: Giải: a) Để đồ thị hàm số bậc nhất y = (m – 2)x – 2m + 1 đi qua A(-2; 3) thì: m - 2 0 m 2 m 2 m 2 (m - 2).(-2) - 2m +1= 3 2m 4 2m 1 3 4m 5 3 4m 2 m 2 1 1 1 m . Vậy m thì đồ thị hàm số bậc nhất y = (m – 2)x – 2m + 1 đi qua m 2 2 2 A(-2; 3). b) Vì đồ thị hàm số y = (2m – 1)x + m – 3 đi qua B(3; 1) nên ta có: (2m – 1).3 + m – 3= 1 6m – 3 + m – 3 = 1 7m – 6 = 1 7m = 7 m = 1. Vậy m = 1 thì đồ thị hàm số y = (2m – 1)x + m – 3 đi qua B(3; 1). c) Để để đường thẳng y = (2 – 3m)x – m + 5 đi qua C(-1; 3) thì : (2 – 3m).(-1) – m + 5 = 3 -2 + 3m – m + 5 = 3 2m + 3 = 3 2m = 0 m = 0. Vậy m = 0 thì đường thẳng y = (2 – 3m)x – m + 5 đi qua C(-1; 3). d) Vì đường thẳng y = (m – 2)x – 2m + 1 đi qua gốc tọa độ nên ta có: – 2m + 1= 0 1 1 -2m = -1 m . Vậy m thì đường thẳng y = (m – 2)x – 2m + 1 đi qua gốc tọa 2 2 độ. Lưu ý: Khi tìm giá trị của tham số để đồ thị hàm số bậc nhất đi qua một điểm không được quên điều kiện để hệ số a khác 0. Còn đối với đường thẳng, đồ thị hàm số thì không có điều kiện hệ số a khác 0. * Bài toán 4: a) Tìm m để đồ thi hàm số bậc nhất y = (– 3m + 4)x – 5m – 1 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2. b) Tìm m biết đường thẳng y = (3m + 4)x – 5m + 1 cắt trục hành tại điểm có hoành độ bằng 3. Hướng dẫn cách giải: Đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2 có nghĩa là đường thẳng đó đi qua điểm có tọa độ (0; -2). Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 có nghĩa đường thẳng đó đi qua điểm có tọa độ (3; 0). Câu a) thêm điều kiện để hệ số a khác 0. Từ hướng dẫn trên học sinh đã tìm được cách giải bài toán như sau: Giải: a) Để đồ thị hàm số bậc nhất y = (– 3m + 4)x – 5m – 1 cắt trục tung tại điểm có 4 m 3m 4 0 3m 4 3 1 1 tung độ bằng -2 thì: m . Vậy m = thì đồ thị 5m 1 2 5m 1 1 5 5 m 5 hàm số bậc nhất y = (– 3m + 4)x – 5m – 1 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2. b) Vì đường thẳng y = (3m + 4)x – 5m + 1 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3, 13 nên ta có: (3m + 4).3 – 5m + 1 = 0 9m +12 – 5m + 1 = 0 4m = -13 m = . 4 11
12. 13 Vậy m = thì đường thẳng y = (3m + 4)x – 5m + 1 cắt trục hoành tại điểm có hoành 4 độ bằng 3. Lưu ý: Khi tìm giá trị của tham số để đồ thị hàm số bậc nhất cắt trục tung (trục hoành) tại một điểm có tung độ (hoành độ) cho trước không được quên điều kiện để hệ số a khác 0. Còn đối với đường thẳng, đồ thị hàm số thì không có điều kiện hệ số a khác 0. * Bài toán 5: a) Tìm m để đồ thị hàm số bậc nhất y = 2mx + 5 – m và y = (3m -5)x + 2m – 4 cắt nhau. b) Tìm m để đường thẳng y = 2x + 5 – m và y = x + 2m – 4 cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung. c) Tìm m để đường thẳng y = 2x - 2 và y = x + 2m – 3 cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành. Hướng dẫn cách giải: Hai đường thẳng cắt nhau khi hệ số a khác nhau. Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung khi hệ số a khác nhau, hệ số b bằng nhau. Hai b đường thẳng cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành khi hệ số a khác nhau, tỉ số a tương ứng của 2 đường thẳng bằng nhau. Từ hướng dẫn trên học sinh đã tìm được cách giải bài toán như sau: Giải: a) Để đồ thị hàm số bậc nhất y = 2mx + 5 – m và y = (3m -5)x + 2m – 4 cắt nhau m 0 2m 0 m 0 5 5 thì: 3m 5 0 3m 5 m . Vậy m 0, m , m 5 thì đồ thị hàm số bậc 3 3 2m 3m 5 m 5 m 5 nhất y = 2mx + 5 – m và y = (3m -5)x + 2m – 4 cắt nhau. b) Để đường thẳng y = 2x + 5 – m và y = x + 2m – 4 cắt nhau tại một điểm nằm trên trục 2 1 m m tung thì: . Vậy m = 3 thì đường thẳng 5 m 2m 4 3m 9 m 3 y = 2x + 5 – m và y = x + 2m – 4 cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung. c) Để đường thẳng y = 2x - 2 và y = x + 2m – 3 cắt nhau tại một điểm nằm trên trục 2 1 m m m hoành thì: 2m 3 2 m 1. Vậy m = 1 thì đường 2m 3 1 2m 2 m 1 1 2 thẳng y = 2x - 2 và y = x + 2m – 3 cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành. Lưu ý: - Xác định đúng hệ số a, b của hàm số bậc nhất, hàm số, đường thẳng - Khi tìm giá trị của tham số để 2 đồ thị hàm số bậc nhất; đồ thị hàm số bậc nhất với đường thẳng (đồ thị hàm số) cắt nhau không được quên điều kiện để hệ số a của hàm số bậc nhất khác 0. Còn đối với 2 đường thẳng; 2 đồ thị hàm số; đường thẳng và đồ thị hàm số thì không có điều kiện hệ số a khác 0. * Bài toán 6: a) Tìm m để đường thẳng y = (2 – 3m)x – m + 5 và y = (m – 2)x – 2m + 1 trùng nhau. 12
13. b) Tìm m để đường thẳng y = (3m + 2)x + m + 1 và y = (m – 2)x – 2m – 5 trùng nhau. c) Tìm m để đường thẳng y = 2x + 2 và y = (2m – 1)x - m + 2 vuông góc với nhau d) Tìm m để đường thẳng y = x - 2 và đồ thị hàm số bậc nhất y = (m + 1)x - m + 2 vuông góc với nhau. Hướng dẫn cách giải: Hai đường thẳng trùng nhau khi hệ số a của chúng bằng nhau và hệ số b của chúng bằng nhau. Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi tích hệ số a của chúng bằng -1. Câu d) thêm điều kiện để hệ số a của hàm số bậc nhất khác 0. Từ hướng dẫn trên học sinh đã tìm được cách giải bài toán như sau: Giải: a) Để đường thẳng y = (2 – 3m)x – m + 5 và y = (m – 2)x – 2m + 1 2 3m m 2 4m 4 m 1 trùng nhau thì: . Vậy không có giá trị nào của m m 5 2m 1 m 4 m 4 để đường thẳng y = (2 – 3m)x – m + 5 và y = (m – 2)x – 2m + 1 trùng nhau. b) Để đường thẳng y = (3m + 2)x + m + 1 và y = (m – 2)x – 2m – 5 3m 2 m 2 2m 4 m 2 trùng nhau thì: . Vậy m = -2 thì đường thẳng m 1 2m 5 3m 6 m 2 y = (3m + 2)x + m + 1 và y = (m – 2)x – 2m – 5 trùng nhau. c) Để đường thẳng y = 2x + 2 và y = (2m – 1)x - m + 2 vuông góc với nhau thì: 1 1 2(2m – 1) = -1 4m – 2 = -1 4m = 1 m = . Vậy m = thì đường thẳng 4 4 y = 2x + 2 và y = (2m – 1)x - m + 2 vuông góc với nhau d) Để đường thẳng y = x – 2 và đồ thị hàm số bậc nhất y = (m + 1)x - m + 2 vuông góc m 1 0 m 1 m 1 với nhau thì: m 2 . Vậy m = -2 thì đường 1(m 1) 1 m 1 1 m 2 thẳng y = x – 2 và đồ thị hàm số bậc nhất y = (m + 1)x - m + 2 vuông góc với nhau Lưu ý: - Xác định đúng hệ số a, b của hàm số bậc nhất, hàm số, đường thẳng - Khi tìm giá trị của tham số để 2 đồ thị hàm số bậc nhất; đồ thị hàm số bậc nhất với đường thẳng (đồ thị hàm số) trùng nhau (vuông góc với nhau) không được quên điều kiện để hệ số a của hàm số bậc nhất khác 0. Còn đối với 2 đường thẳng; 2 đồ thị hàm số; đường thẳng và đồ thị hàm số thì không có điều kiện hệ số a khác 0. * Bài toán 7: a) Tìm m biết đồ thị hàm số bậc nhất y = (m – 2)x – 2m + 1 song song với đường thẳng y = 2x + 5. b) Tìm m để đồ thị hàm số y = (2m – 1)x + m – 3 song song với đường thẳng x + y = 2. c) Tìm m để đường thẳng y = (2 – 3m)x – m + 5 song song với đường thẳng y = (m – 6)x + 2m + 2. d) Tìm m để biết đường thẳng y = (2m – 1)x + m – 3 song song với trục Ox. 13
14. Hướng dẫn cách giải: Để 2 đường thẳng song song với nhau thì hệ số a của chúng bằng nhau và hệ số b của chúng khác nhau. Đối với câu a) thêm điều kiện để hệ số a của hàm số bậc nhất khác 0. Đối với câu b) ta phải viết phương trình đường thẳng x + y = 2 thành y = -x + 2. Từ hướng dẫn trên học sinh đã tìm được cách giải bài toán như sau: Giải: a) Vì đồ thị hàm số bậc nhất y = (m – 2)x – 2m + 1 song song với đường thẳng m 2 0 m 2 m 2 y = 2x + 5, nên ta có: m 2 2 m 4 m 4 m 4 . Vậy m = 4 thì đồ thị 2m 1 5 2m 4 m 2 hàm số bậc nhất y = (m – 2)x – 2m + 1 song song với đường thẳng y = 2x + 5 b) Để đồ thị hàm số y = (2m – 1)x + m – 3 song song với đường thẳng x + y = 2 y = -x + 2 thì: 2m 1 1 2m 0 m 0 m 0 . Vậy m = 0 thì đồ thị hàm số m 3 2 m 5 m 5 y = (2m – 1)x + m – 3 song song với đường thẳng x + y = 2. c) Để đường thẳng y = (2 – 3m)x – m + 5 song song với đường thẳng 2 3m m 6 4m 8 m 2 y = (m – 6)x + 2m + 2 thì: m 2 . Vậy m = 2 thì m 5 2m 2 3m 3 m 1 đường thẳng y = (2 – 3m)x – m + 5 song song với đường thẳng y = (m – 6)x + 2m + 2. d) Để đường thẳng y = (2m – 1)x + m – 3 song song với trục Ox (đường thẳng y = 0) thì: 1 2m 1 0 2m 1 m 1 1 2 m . Vậy m = thì đường thẳng m 3 0 m 3 2 2 m 3 y = (2m – 1)x + m – 3 song song với trục Ox. Lưu ý: - Xác định đúng hệ số a, b của hàm số bậc nhất, hàm số, đường thẳng. - Khi tìm giá trị của tham số để 2 đồ thị hàm số bậc nhất; đồ thị hàm số bậc nhất với đường thẳng (đồ thị hàm số) song song với nhau không được quên điều kiện để hệ số a của hàm số bậc nhất khác 0. Còn đối với 2 đường thẳng; 2 đồ thị hàm số, đường thẳng và đồ thị hàm số thì không có điều kiện hệ số a khác 0. - Đường thẳng chưa cho dạng y = ax + b thì đưa về dạng y = ax + b. * Bài toán 8: a) Tìm m để đường thẳng y = (m2 + 1)x – m + 2 song song với đường thẳng y = 2x + 3. b) Tìm m để đường thẳng y = (m2 – 1)x + m – 1 song song với đường thẳng -3x + y = 1. Hướng dẫn cách giải: Tương tự như bài tập 7, để 2 đường thẳng song song với nhau thì hệ số a của chúng bằng nhau và hệ số b của chúng khác nhau. Từ hướng dẫn trên học sinh đã tìm được cách giải bài toán như sau: Giải: a) Để đường thẳng y = (m2 + 1)x – m + 2 song song với đường thẳng y = 2x + 3 thì: m2 1 2 m2 1 m 1 m 1. Vậy m = 1 thì đường thẳng m 2 3 m 1 m 1 14
15. y = (m2 + 1)x – m + 2 song song với đường thẳng y = 2x + 3 b) Để đường thẳng y = (m2 – 1)x + m – 1 song song với đường thẳng -3x + y = 1 y = 3x + 1 thì: m2 1 3 m2 4 m 2 m 2 . Vậy m = -2 thì đường thẳng m 1 1 m 2 m 2 y = (m2 – 1)x + m – 1 song song với đường thẳng -3x + y = 1 Lưu ý: - Xác định đúng hệ số a, b của đường thẳng. - Với m2 a (a 0) thì m a . - Đường thẳng chưa cho dạng y = ax + b thì đưa về dạng y = ax + b. * Bài toán 9: a) Tính giá trị của m để đường thẳng y = mx + m – 1 tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2. b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng y = (m – 2)x + 2 là lớn nhất. Hướng dẫn cách giải: Đối với câu a), ta thấy tam giác tạo bởi đường thẳng y = mx + m – 1 tạo với các trục tọa độ là tam giác vuông, do đó ta tính độ dài các cạnh góc vuông đó theo m rồi sử dụng công thức tính diện tích tam giác vuông sẽ tính được m. Đối với câu b) ta thấy tam giác tạo bởi đường thẳng y = (m – 2) x + 2 tạo với các trục tọa độ là tam giác vuông, khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng y = (m – 2)x + 2 chính là độ dài đường cao của tam giác vuông đó ứng với cạnh huyền. Theo hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta sẽ tìm được m. Từ hướng dẫn trên học sinh đã tìm được cách giải bài toán như sau: Giải: a) Gọi A là giao điểm của thẳng y = mx + m – 1 tạo với trục tung. Với x = 0 thì y = m – 1, do đó OA = m 1 . Gọi B là giao điểm của thẳng y = mx + m – 1 tạo với trục 1 m 1 m hoành. Với y = 0 thì x = nên OB = m m OA.OB (m 1)2 m2 2m 1 4m S 2 2 OA.OB 4 4 ABO 2 2 m m 2m 1 4m Ta có: m2 2m 1 4m m2 6m 1 0 (m 3)2 8 m 3 2 2 m 3 2 2 m2 2m 1 4m m2 2m 1 0 (m 1)2 0 m 1 0 m 1 Vậy m 3 2 2 , m 1 thì đường thẳng y = mx + m – 1 tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2. b) Gọi C là giao điểm của thẳng y = (m – 2)x + 2 tạo với trục tung. Với x = 0 thì y = 2, do đó OC =2. Gọi D là giao điểm của thẳng y = (m – 2)x + 2 tạo với trục hoành. 2 2 Với y = 0 thì x = nên OD = . Gọi OH là khoảng cách từ O đến đường thẳng 2 m 2 m y = (m – 2)x + 2. Khi đó tam giác CDO vuông tại O, OH là đường cao, theo hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: 15
16. 1 1 1 (2 m)2 1 m2 4m 5 4 OH 2 OH 2 OC 2 OD2 4 4 4 m2 4m 5 OH lớn nhất m2 4m 5 nhỏ nhất m 2 Vậy m 2 thì khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng y = (m – 2)x + 2 là lớn nhất. Lưu ý: Bài toán 9 chỉ dành cho đối tượng học sinh khá, giỏi. 2.7. Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b. *Bài toán 1: a) Viết phương trình đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M(1 ; 3) và song song với đường thẳng y = 2x - 1 b) Viết phương trình đường thẳng y = ax + b đi qua điểm N(1 ; -1) và có hệ số góc bằng -3 c) Viết phương trình đường thẳng y = ax + b đi qua điểm C(-2 ; 5) và vuông góc với đường thẳng y = -2x + 3 . d) Viết phương trình đường thẳng y = ax + b đi qua điểm D(3; 2) và tạo với trục Ox một góc 450 Hướng dẫn cách giải: Để viết phương trình đường thẳng y = ax + b ta phải tính hệ số a, hệ số b. Dựa vào hai giả thiết của bài toán đã cho ta sẽ tính được hệ số a, hệ số b. Từ hướng dẫn trên học sinh đã tìm được cách giải bài toán như sau: a 2 Giải: a) Đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 2x – 1 nên ta có: b 1 Khi đó đường thẳng có dạng y = 2x + b, đường thẳng y = 2x + b đi qua M(1; 3) nên ta có: 2.1 + b = 3 2 + b = 3 b = 1 (thỏa mãn b 1). Vậy đường thằng cần tìm có dạng y = 2x + 1. b) Đường thẳng y = ax + b có hệ số góc bằng -3 nên ta có: a = -3. Khi đó đường thẳng có dạng y = -3x + b, đường thẳng y = -3x + b đi qua N(1; -1) nên ta có: -3.1 + b = -1 -3 + b = -1 b = 2. Vậy đường thằng cần tìm có dạng y = -3x + 2. c) Đường thẳng y = ax + b vuông góc với đường thẳng y = -2x + 3 nên ta có: 1 1 1 a.(-2) = -1 a = . Khi đó đường thẳng có dạng y = x + b, đường thẳng y = x + b đi 2 2 2 1 qua C(-2; 5) nên ta có: .(-2) + b = 5 -1 + b = 5 b = 6. Vậy đường thằng cần tìm có 2 1 dạng y = x + 6. 2 d) Đường thẳng y = ax + b tạo với trục Ox một góc 450 nên ta có: a = Tan 450 = 1. Khi đó đường thẳng có dạng y = x + b, đường thẳng y = x + b đi qua D(3; 2) nên ta có: 3 + b = 2 b = -1. Vậy đường thằng cần tìm có dạng y = x – 1. Lưu ý: Để tính hệ số a, hệ số b mà bài toán cho ta 2 giả thiết. Ta nên khai thác giả thiết liên quan đến hệ số a trước để tính hệ số a sau đó khai thác giả thiết còn lại để tính hệ số b. Nếu khai thác giả thiết đường thẳng đi qua một điểm trước rồi khai thác giả thiết song song với một đường thẳng sau thì dễ bị sót điều kiện của hệ số b. *Bài toán 2: a) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1; 3) và B(2; 5). 16
17. b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm C(-1; 2) và D(-2; -3) c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm E(2; -4) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng - 5 Hướng dẫn cách giải: Đối với bài toán này trước hết ta phải gọi dạng của đường thẳng cần tìm là y = ax + b sau đó ta thay tọa độ của từng điểm vào phương trình đường thẳng ta được hai phương trình bậc nhất 2 ẩn với ẩn a, b. Sau đó từ mỗi phương trình ta biểu diễn b theo a khi đó ta tính được hệ số a. Thay a vừa tìm được vào biểu thức b biểu diễn theo a ta tính được b. Từ hướng dẫn trên học sinh đã tìm được cách giải bài toán như sau: Giải: a) Gọi phương trình đường thẳng cần tìm có dạng y = ax + b, đường thẳng y = ax + b đi qua A(1; 3) nên ta có : a + b = 3 b = -a + 3 (1). Đường thẳng y = ax + b đi qua B(2; 5) nên ta có : 2a + b = 5 b = -2a + 5 (2). Từ (1) và (2) ta có: -a + 3 = -2a + 5 a = 2. Với a = 2, ta có : b = -2 + 3 = 1. Vậy đường thằng cần tìm có dạng y = 2x + 1. b) Gọi phương trình đường thẳng cần tìm có dạng y = ax + b, đường thẳng y = ax + b đi qua C(-1; 2) nên ta có : -a + b = 2 b = a + 2 (1). Đường thẳng y = ax + b đi qua D(-2; -3) nên ta có : -2a + b = -3 b = 2a – 3 (2). Từ (1) và (2) ta có: a + 2 = 2a – 3 a = 5. Với a = 5, ta có : b = 5 + 2 = 7. Vậy đường thằng cần tìm có dạng y = 5x + 7. c) Gọi phương trình đường thẳng cần tìm có dạng y = ax + b, đường thẳng y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -5 nên ta có b = -5. Khi đó đường thẳng có dạng y = ax – 5, đường thẳng y = ax – 5 đi qua E(2; -4) nên ta có: 1 1 2a – 5 = -4 2a = 1 a = . Vậy đường thằng cần tìm có dạng y = x – 5. 2 2 Lưu ý: - Phải gọi dạng phương trình đường thẳng cần tìm (thường là dạng y = ax + b). - Đối với câu a), b) thay đúng hoành độ của điểm thuộc đường thẳng vào x, tung độ của điểm thuộc đường thẳng vào y để được phương trình với ẩn a, b. - Đối với câu a), b) sau khi học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thì hướng dẫn học sinh giải như sau: Thay tọa độ của từng điểm vào phương trình đường thẳng ta được hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn, giải hệ phương trình đó ta tính được a, b. 2.8. Dạng 8: Tìm điểm cố định của đường thẳng y = ax + b. *Bài toán: a) Tìm điểm cố định mà đường thẳng y = (m – 1)x + 2m – 1 luôn đi qua với mọi giá trị của m b) Chứng minh rằng đường thẳng y = mx + m – 1 luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m. Hướng dẫn cách giải: Điều kiện để đường thẳng với tham số m đi qua điểm cố định K(x0; y0) là khi thay tọa độ của điểm K(x 0; y0) vào phương trình thẳng phương trình này luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m. Từ hướng dẫn trên học sinh đã tìm được cách giải bài toán như sau: Giải: a) Gọi điểm cố định cần tìm là K(x0; y0). Để đường thằng y = (m – 1)x + 2m – 1 đi qua K(x0; y0) với mọi giá trị của m thì: y0 = (m – 1)x0 + 2m – 1 với mọi m 17
18. (x0 + 2)m – (y0 + x0 + 1) = 0 với mọi m x0 2 0 y0 x0 1 0 x0 2 y0 1 Vậy K(-2; 1) là điểm cố định mà các đường thẳng y = (m – 1)x + 2m – 1 luôn đi qua với mọi giá trị của m. b) Gọi điểm cố định cần tìm là K’(x0; y0). Để đường thằng y = mx + m – 1 đi qua K’(x0; y0) với mọi giá trị của m thì: y0 = mx0 + m – 1 với mọi m (x0 + 1)m – (y0 + 1) = 0 với mọi m x0 1 0 y0 1 0 x0 1 y0 1 Vậy các đường thẳng y = mx + m – 1 luôn đi qua điểm cố định K’(-1; -1) với mọi giá trị của m. Lưu ý: Dạng toán này chỉ dành cho đối tượng học sinh khá, giỏi. 2.9. Dạng 9: Chứng minh các đường thẳng đồng quy, các điểm thẳng hàng. *Bài toán: a) Chứng minh ba đường thẳng y = x – 2, y = 2x – 3, y = -x đồng quy. b) Chứng minh ba điểm A(0; 3), B(-1; 1), C(1; 5) thẳng hàng. Hướng dẫn cách giải: Đối với câu a) ta tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng rồi chứng tỏ điểm đó thuộc đường thẳng thứ 3. Đối với câu b) ta viết đường thẳng đi qua 2 điểm rồi chứng tỏ đường thẳng đó đi qua điểm điểm thứ 3. Từ hướng dẫn trên học sinh đã tìm được cách giải bài toán như sau: Giải: a) Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = x – 2 và y = 2x – 3 là nghiệm của phương trình x – 2 = 2x – 3 x = 1. Tung độ gia điểm của đường thẳng y = x – 2 và y = 2x – 3 là y = 1 – 2 = -1 Tọa độ giao điểm của đường thẳng y = x – 2 và y = 2x – 3 là M(1; -1) Với x = 1, ta có y = -1 bằng tung độ của điểm M, do đó điểm M thuộc đường thẳng y = -x Vậy ba đường thẳng y = x – 2, y = 2x – 3, y = -x đồng quy. b) Gọi đường thẳng đi qua điểm A(0; 3) và B(-1; 1) có dạng y = ax + b. Vì đường thẳng b 3 b 3 y = ax + b đi qua điểm A(0; 3) và B(-1; 1) nên ta có: a b 1 a 2 Đường thẳng đi qua điểm A(0; 3) và B(-1; 1) là y = 2x + 3 Với x = 1, ta có y = 2.1 + 3 = 5 bằng tung độ của điểm C do đó đường thẳng y = 2x + 3 đi qua điểm C(1; 5). Vậy ba điểm A(0; 3), B(-1; 1), C(1; 5) thẳng hàng. 3. Giải pháp 3: Bài tập tự luyện 3.1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau: 18
19. 2 a) y = 4x b) y = - x c) y = -x + 5 3 d) y = 3x – 6 e) y = 3x - 7 g) y = -2x + 3 3.2. Cho đường thẳng (d): y = -x + 4 và (d’): y = 2x – 2: a) Vẽ d và d’ trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy. b) Tìm tọa độ giao điểm của d và d’. c) Gọi giao điển của d, d’ và trục Ox lần lượt là M, N; giao điểm của d và d’ là P. Hãy tính chu vi, diện tích và số đo các góc của tam giác MNP. 3.3. Cho đường thẳng (d): y = 3x – 5. a) Vẽ d trên mặt phẳng tọa độ Oxy. b) Xác định điểm thuộc đường thẳng (d) có hoành độ bằng -5. c) Xác định điểm thuộc đường thẳng (d) có tung độ bằng 6. d) Xác định điểm thuộc đường thẳng (d) cách đều hai trục tọa độ. e) Xác định điểm thuộc đường thẳng (d) có khoảng cách đến trục tung bằng 3 lần khoảng cách đến trục hoành. f) Xác định điểm thuộc đường thẳng (d) có khoảng cách đến trục hoàn bằng 3 lần khoảng cách đến trục tung. 3.4. Cho hàm số bậc nhất y = (3m – 2)x + m – 1 : a) Tìm m để hàm số đồng biến. b) Tìm m để hàm số nghịch biến. 3.5. Cho hàm số bậc nhất y = (m – 3)x – 2m + 3 : a) Tìm m để hàm số đồng biến. b) Vẽ đồ thị hàm số khi m = 2. c) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua A(-2; 3). d) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 3x – 5. e) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ. 3.6. Cho hàm số y = (2 – m)x + m – 5. a) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1; -3). b) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = mx – 3m + 1. c) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -1. d) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 6. 3.7. Cho đường thẳng y = (2m – 1)x + 5 – m a) Tìm m để đường thẳng đi qua điểm B(-3; 1). b) Tìm m để đường thẳng song song với đường thẳng y = (m + 1)x – m + 3. c) Tìm m để đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 5. d) Tìm m để đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2. e) Tìm m để đường thẳng song song với trục Ox. f) Chứng minh đường thẳng luôn đi qua điểm cố định với mọi giá trị của m. 3.8. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình: 3x + 4y = 2. 19
20. a) Tìm hệ số góc của đường thẳng d. 2 b) Với giá trị nào của tham số m thì đường thẳng d1: y = (m -1)x + m song song với đường thẳng d. 3.9. Cho đường thẳng y = (3m – 2)x – m + 2 a) Tìm m để đường thẳng đã cho cắt đường thẳng y = 2x + 3m – 1 tai một điểm trên trục tung. c) Tìm m để đường thẳng đã cho cắt đường thẳng y = 2x – 1 tai một điểm trên trục hoành. 3.10. a) Tìm m để đường thẳng y = (2m – 1)x + m – 3 và y = (m – 2)x – 2m + 1 cắt nhau. b) Tìm m để đường thẳng y = (2 – 3m)x – m + 5 và y = (m – 2)x – 2m + 1 trùng nhau. c) Tìm m để đường thẳng y = 2x + 2 và y = (2m – 1)x - m + 2 vuông góc với nhau. 3.11. a) Viết phương trình đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M(3; 1) và song song với đường thẳng y = -2x + 1. b) Viết phương trình đường thẳng y = ax + b đi qua điểm N(1 ; -5) và có hệ số góc bằng 4. c) Viết phương trình đường thẳng y = ax + b đi qua điểm C(-5; 1) và vuông góc với đường thẳng y = -2x + 3. d) Viết phương trình đường thẳng y = ax + b đi qua điểm D(1 ; 2) và tạo với chiều dương trục Ox góc 300. e) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(2; 3) và B(2 ; -1). 3.12. a) Viết phương trình đường thẳng song với đường thẳng y = -2x + 3 và đi qua điểm M(-1 ; 5). b) Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc bằng 4 và đi qua điểm N(-2 ;3). c) Viết phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng y = 3x – 2 và đi qua điểm C(5 ; -1). d) Viết phương trình đường thẳng y = ax + b đi qua điểm D(2 ; -1) và tạo với chiều dương trục Ox góc 600. e) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(-1 ; 2) và B(-2 ; -3). IV. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC: Sau thực hiện các giải pháp của biện pháp, tôi nhận thấy học sinh đã không còn lúng túng, gặp khó khăn và ít sai sót hơn trước những bài toán về hàm số bậc nhất. Khả năng tư duy, sáng tạo rất tốt. Kết quả kiểm tra 1 tiết chương II – Hàm số bậc nhất năm học 2018 – 2019, 2019 – 2020 năm sau cao hơn năm trước. Kết quả kiểm tra cuối kì I năm học 2020 – 2021 học sinh phần lớn đạt điểm tối đa câu về hàm số bậc nhất. Qua đó góp phần nâng cao thứ hạng môn Toán tuyển sinh vào 10 THPT năm học 2020 – 2021 so với năm 2019 - 2020. Tôi cũng khảo sát 33 em học sinh 9B với câu hỏi như sau: Câu 1: Cho đường thẳng y = 3x – 7. 20